Matemática, perguntado por crispc, 11 meses atrás

Qual é a posição relativa das circunferências: a=x²+y²+6x-4y+1=0 e b= (x-3)²+(y+1)²=9. A)Exteriores B)Tangentes exteriores C)Interiores D)Secantes

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
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Resposta:

\boxed{\bold{\displaystyle{a)~Exteriores}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades sobre posições relativas entre circunferências.

Sejam as duas circunferências \lambda_1: x^2+y^2+6x-4y+1=0 e \lambda_2:(x-3)^2+(y+1)^2=9.

Como podemos ver, a equação da segunda equação já está reduzida. Seu centro tem coordenadas (3,-1) e seu raio mede 3.

Devemos reduzir a primeira para que ao compararmos a uma equação reduzida genérica (x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2, descubramos as coordenadas do centro e a medida do raio, pois precisaremos destas informações para encontrarmos a posição relativa.

Para reduzir a equação, analisemos os coeficientes do termos de grau 1. Isto é, dos termos 6x e -4y. A partir da expansão da equação reduzida, obteremos sempre um termo multiplicado por 2 e pela variável x_c. Isto significa que para completar o quadrado, dividimos o valor por 2 e somamos seu quadrado à equação.

Ou seja, devemos adicionar 9 e 4 em ambos os lados da equação, assim teremos:

x^2+y^2+6x-4y+1+\bold{9+4}=\bold{9+4}

Reorganize e some os termos

x^2++6x+9+y^2-4y+4+1=13

Subtraia 1 em ambos os lados da equação

x^2+6x+9+y^2-4y+4=12

Fatore os trinômios quadrados perfeitos, lembrando que (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(x+3)^2+(y-2)^2=12

Comparando esta equação à equação reduzida genérica, descobrimos que o centro tem coordenadas (-3,~2) e o raio tem medida \sqrt{12}.

Simplificando a medida do raio, obtemos r=2\sqrt{3}

No estudo de posições relativas, existem diversos casos que dependem exclusivamente da distância entre seus centros e das medidas de seus raios.

Para calcularmos as distâncias entre seus centro, utilizaremos a fórmula: d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

Substitua as coordenadas dos centros das duas circunferências

d=\sqrt{(3-(-3))^2+(-1-2)^2}

Some os valores dentro dos parênteses

d=\sqrt{6^2+(-3)^2}

Calcule as potências e some os valores

d=\sqrt{36+9}\\\\\\ d=\sqrt{45}

Fatorando o radicando, podemos simplificar a raiz

d=3\sqrt{5}

Utilizando as aproximações \sqrt{5}\approx2.24 e \sqrt{3}\approx1.73

Descobrimos que d\approx6.72 e a medida dos raios são respectivamente 3 e aproximadamente 3,46

Como podemos ver, d>r_1+r_2

Isto significa que as circunferências são exteriores, resposta contida na letra a). Veja a imagem a seguir:

Anexos:
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