Qual é a posição relativa das circunferências: a=x²+y²+6x-4y+1=0 e b= (x-3)²+(y+1)²=9. A)Exteriores B)Tangentes exteriores C)Interiores D)Secantes
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades sobre posições relativas entre circunferências.
Sejam as duas circunferências e .
Como podemos ver, a equação da segunda equação já está reduzida. Seu centro tem coordenadas e seu raio mede .
Devemos reduzir a primeira para que ao compararmos a uma equação reduzida genérica , descubramos as coordenadas do centro e a medida do raio, pois precisaremos destas informações para encontrarmos a posição relativa.
Para reduzir a equação, analisemos os coeficientes do termos de grau 1. Isto é, dos termos e . A partir da expansão da equação reduzida, obteremos sempre um termo multiplicado por 2 e pela variável . Isto significa que para completar o quadrado, dividimos o valor por 2 e somamos seu quadrado à equação.
Ou seja, devemos adicionar e em ambos os lados da equação, assim teremos:
Reorganize e some os termos
Subtraia 1 em ambos os lados da equação
Fatore os trinômios quadrados perfeitos, lembrando que
Comparando esta equação à equação reduzida genérica, descobrimos que o centro tem coordenadas e o raio tem medida .
Simplificando a medida do raio, obtemos
No estudo de posições relativas, existem diversos casos que dependem exclusivamente da distância entre seus centros e das medidas de seus raios.
Para calcularmos as distâncias entre seus centro, utilizaremos a fórmula:
Substitua as coordenadas dos centros das duas circunferências
Some os valores dentro dos parênteses
Calcule as potências e some os valores
Fatorando o radicando, podemos simplificar a raiz
Utilizando as aproximações e
Descobrimos que e a medida dos raios são respectivamente e aproximadamente
Como podemos ver,
Isto significa que as circunferências são exteriores, resposta contida na letra a). Veja a imagem a seguir: