Question

qual e a posição relativa da reta r:2x-y+3=0 e a circunferência a=x^2+y^2+2x-6y+5=0 . Já sei que é secante, preciso do calculo por favor.

Answer 1

Temos os seguintes dados:

$\sf \begin{cases} \sf r :2x - y + 3 = 0 \\ \sf x {}^{2} + {y}^{2} + 2x - 6y + 5 = 0 \end{cases}$

Vamos encontrar a posição relativa através do método prático, para que não tenhamos que calcular a distância do centro a reta r. Para resolver pelo método prático, você isola "x" ou "y" da equação geral da reta e substitui na equação geral da circunferência.

$\sf 2x - y + 3 = 0 \\ \sf - y = - 3 - 2x .( - 1) \\ \boxed{ \sf y = 2x + 3}$

Substituindo:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} + 2x - 6y + 5 = 0 \\ \sf x { }^{2} + (2x + 3) {}^{2} + 2x - 6.(2x + 3) + 5 = 0 \\\sf x^{2} + (2x + 3).(2x+3)+2x-6.(2x+3) + 5 = 0\\ \sf x {}^{2} + 2x.2x + 2.x.3 + 2.x.3 + 3.3 - 6.2x - 6.3 + 5 = 0 \\ \sf x {}^{2} + 4x {}^{2} + 6x + 6x + 2x + 9 - 12x - 18 + 5 = 0 \\ \sf 5x {}^{2} + 12x - 12x + 2x+ 9 - 18 + 5 = 0 \\ \sf 5x {}^{2} +2x- 9 + 5 = 0 \\ \boxed{\sf 5x {}^{2} + 2x - 4 = 0}$

Agora devemos calcular o discriminante dessa equação, apenas o discriminante.

$\sf 5x {}^{2} + 2x - 4 = 0 \\ \begin{cases} \sf a = 5 \\ \sf b = 2\\ \sf c = - 4\end{cases} \\ \\ \sf \Delta = b {}^{2} - 4.a.c \\ \sf \Delta = 2 {}^{2} - 4.5.( - 4) \\ \sf \Delta = 4 + 80 \\ \boxed{ \sf \Delta = 84}$

Como o discriminante foi maior que "0", isso quer dizer que essa equação possui duas raízes reais distintas, ou seja, podemos associar isso a pontos, então elas possuem dois pontos em comum, que é característica de uma reta secante à uma circunferência.

$\begin{cases}\sf \Delta > 0 \rightarrow Secante \\\sf\Delta = 0 \rightarrow Tangente \\\sf \Delta < 0 \rightarrow Exterior \end{cases}$

R: Reta secante à circunferência.

Espero ter ajudado