Matemática, perguntado por luizffonseca, 3 meses atrás

qual é a posição do ponto a(1,√2) em relação a circunferência x2 + y2 - 4x - 4y + 4=0

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ponto "A" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Interno\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} \lambda: x^{2} + y^{2} - 4x - 4y + 4 = 0\\A(1,\,\sqrt{2})\end{cases}$

Para identificarmos a posição relativa do ponto "A" em relação à circunferência devemos calcular a distância entre o ponto "A" e o centro "C" e depois comparar com o comprimento do raio.

Sabemos também que a equação geral da circunferência pode ser obtida pela seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Ax^{2} + By^{2} + Cxy + Dx + Ey + F = 0\end{gathered}$}$

Para resolver esta questão, devemos:

Obter a abscissa do centro "C" da circunferência:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x_{C} = -\frac{D}{2A} = -\frac{(-4)}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\end{gathered}$}$

Obter a ordenada do centro "C" da circunferência:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y_{C} = -\frac{E}{2A} = -\frac{(-4)}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\end{gathered}$}$

Montar o centro da circunferência:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} C(2,\,2)\end{gathered}$}$

Determinar o comprimento do raio da circunferência:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} r = \sqrt{\frac{D^{2} + E^{2} - 4AF}{4A^{2}}} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \sqrt{\frac{(-4)^{2} + (-4)^{2} - 4\cdot1\cdot4}{4\cdot1^{2}}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \sqrt{\frac{16 + 16 - 16}{4}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \sqrt{\frac{16}{4}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 2\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:r_{\lambda} = 2\,u\cdot c\end{gathered}$}$

Calcular a distância entre os pontos "A" e "C":

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} d_{\overline{CA}} = \sqrt{(X_{A} - X_{C})^{2} + (Y_{A} - Y_{C})^{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \sqrt{(1 - 2)^{2} + (\sqrt{2} - 2)^{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \sqrt{(-1)^{2} + (\sqrt{2} - 2)^{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \sqrt{1 + 6 - 4\sqrt{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \sqrt{7 - 4\sqrt{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:d_{\overline{CA}}= \sqrt{7 - 4\sqrt{2}}\end{gathered}$}$

✅ Portanto, ao comparar a distância entre os pontos A e C concluímos o seguinte:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:\:d_{\overline{CA}} < r\LongrightarrowA\:ent\tilde{a}o\:A\:\acute{e}\:\textrm{Interno}\:\grave{a}\:\lambda\end{gathered}$}$