Question

qual é a posição da reta r de equação y = 3 em relação à circunferência de equação x^2+y^2-2x+4y-20=0? se houver pontos comuns determine as coordenadas desses pontos.​

Answer 1

Posição da reta em relação à circunferência.

Reta :

$\text y = 3$

$0.\text x + \text y - 3 = 0$  

Circunferência :

$\text x^2 + \text y^2 -2\text x + 4\text y -20 = 0$

1º vamos achar a equação reduzida da circunferência

$\text x^2 -2\text x + \text y^2 + 4\text y = 20$

completando quadrados :

$\text x^2 -2\text x +1 + \text y^2 + 4\text y +4 = 20 +1 +4$

$(\text x-1)^2 +(\text y+2)^2 = 5^2$

$\text{Centro:\ (1,-2) } \ , \text e \ \text R = 5$

2º vamos fazer a distância(D) da reta ao centro da circunferência e analisar os seguinte casos :

$\text D = \text R$ - Reta tangente à circunferência ( intersecta num único ponto )

$\text D > \text R$ - Reta externa à circunferência ( sem interseções )

$\text D < \text R$ - Reta secante/interna à circunferência ( duas interseções )

Fazendo distância do centro (1,-2) até a reta 0.x + y - 3 = 0

$\displaystyle \text D =\frac{|0.1+1.(-2)-3|}{\sqrt{0^2+1^2 }}$

$\displaystyle \text D =\frac{|-2-3|}{1}$

$\text D = 5$

Distância igual ao raio, logo a reta é tangente à circunferência.

Para descobrir o ponto comum, vamos substituir a reta y = 3 na equação da circunferência

$(\text x-1)^2 +(\text 3+2)^2 = 5^2$

$(\text x-1)^2 +5^2 = 5^2$

$(\text x-1)^2 =0$

$\text x = 1$

Ponto de interseção :

$\huge\boxed{(1,3)}$