Question

Qual é a posição da reta r: 5x + 12y + 8 = 0 em relação à circunferência x2 + y2 - 2x = 0.

Answer 1

A reta r: 5x + 12y + 8 = 0 é tangente à circunferência x² + y² - 2x = 0.

Primeiramente, vamos escrever a equação reduzida da circunferência x² + y² - 2x = 0. Para isso, precisamos completar quadrado:

x² - 2x + 1 + y² = 1

(x - 1)² + y² = 1.

Com isso, podemos afirmar que a circunferência possui centro no ponto C = (1,0) e raio igual a 1.

Considere que temos uma reta ax + by + c = 0 e um ponto (x₀,y₀). A fórmula da distância entre ponto e reta é definida por:

• $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Vamos calcular a distância entre o ponto (1,0) e a reta 5x + 12y + 8 = 0.

• Se a distância for igual à medida do raio, significa que a reta é tangente à circunferência.

• Se a distância for maior que a medida do raio, então a reta é exterior à circunferência.

• Se a distância for menor que a medida do raio, então a reta é secante à circunferência.

Dito isso, temos que:

$d=\frac{|5.1+12.0+8|}{\sqrt{5^2+12^2}}$

$d=\frac{|13|}{\sqrt{169}}$

d = 13/13

d = 1.

Portanto, podemos concluir que a reta é tangente à circunferência.