Question

qual é a médida do angulo interno de um poligono regular cujo numero de diagonais é igual ao numero de lados (preciso junto com a conta)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Marcione, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se a medida de um ângulo interno de um polígono regular cujo número de diagonais é igual ao número de lados.

ii) Veja como vai ser simples encontrar, primeiro qual é esse polígono e, depois, encontrar a medida de um ângulo interno do polígono.

Note que o número de diagonais (d) de um polígono é dado pela seguinte fórmula:

d = n*(n-3)/2 , em que "d" é o número de diagonais e "n" é o número de lados.

Ora, mas como está informado que o número de diagonais (d) é igual ao número de lados (n), então vamos substituir "d" por "n", com o que ficaremos assim:

n = n*(n-3)/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

2*n = n*(n-3) ------ efetuando os produtos indicados, temos:

2n = n² - 3n ----- passando "2n" para o 2º membro, temos:

0 = n² - 3n - 2n ------ como "-3n-3n = -5n", teremos:

0 = n² - 5n ----- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo. Assim:

n² - 5n = 0 ---- vamos colocar "n" em evidência, com o que ficaremos:

n*(n - 5) = 0 ----- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, então um dos fatores é nulo. Logo, teremos as seguintes possibilidades:

ou

n = 0 ---> n' = 0 <--- Esta é uma raiz.

ou

n-5 = 0 ---> n'' = 5 <--- Esta é outra raiz.

Mas como não há número de lados igual a "0", então ficamos com a outra raiz, que é:

n = 5 <---- Este é o número de lados do polígono regular da sua questão. É um pentágono.

iii) Agora vamos encontrar a medida de um ângulo interno de um pentágono. Note que a fórmula para encontrar a medida de um ângulo interno de um polígono regular é dada assim:

ai = 180*(n-2)/n , em que "ai" é a medida de um ângulo interno e "n" é o número de lados.

Assim, substituindo-se "n" por "5", já que o polígono da sua questão tem 5 lados (é um pentágono), teremos:

ai = 180*(5-2)/5 ----- desenvolvendo, teremos:

ai = 180*(3)/5 ---- ou apenas:

ai = 180*3/5  ------ como "180*3 = 540", teremos:

ai = 540/5 ------- note que esta divisão dá exatamente "108". Logo:

ai = 108º <---- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a medida de um ângulo interno de um pentágono, que é o polígono da sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.