Qual é a medida de volume máximo de ar, em
litros?
V(t) = 3 + 0,5 . sen(
2
/5)
Soluções para a tarefa
1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
1.1 Funções de Duas Variáveis
DEFINIÇÃO 1: Seja D um conjunto de pares ordenados de números reais. Uma função de duas variáveis é uma
correspondência que associa a cada par x, y em D exatamente um número real, denotado por fx, y . O conjunto
D é o domínio de f. O contradomínio de f consiste em todos os números reais fx, y, com x, y em D.
Exemplo 1: Índice de sensação térmica. por exemplo, se a temperatura é de 50o C e a velocidade do vento
é 50 km/h, então a sensação térmica será f−5, 50 −15oC.
Exemplo 2: Seja f a função dada por fx, y 9 − x
2 − y
2
. Esboce o gráfico de f e exiba os traços nos
planos z 0, z 2, z 4, z 6 e z 8.
Solução: domínio Dx, y : x
2 y
2 ≤ 9, pode ser representado por todos os pontos do círculo x
2 y
2 ≤ 9 .
O gráfico de f tem a equação z 9 − x
2 − y
2
.Elevendo ao quadrado ambos os lados da equação
temos z
2 9 − x
2 − y
2 ou z
2 x
2 y
2 9 uma esfera de raio 3 mas com z ≥ 0. Para achar o traço no plano
xy, concideramos z 0 e temos x
2 y
2 9 um círculo de raio 3. No plano xz concideramos y 0 e temos
x
2 z
2 9 um semi círculo de raio 3.No plano yz concideramos x 0 e temos y
2 z
2 9 um semi círculo de
raio 3.
1
Unindo os três planos temos um esboço do gráfico.
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
x
2 y
2 ≤ 9 z 9 − x
2 − y
2
1.2 Curvas de Nível
Projetando o traço do gráfico de f no plano x k para o plano xy, obtemos uma curva C de equação
fx, y k. Se um ponto x, y, 0 se move ao longo de C, os valores fx, y são sempre iguais a k. C é chamada
de curva de nível de f.
Exemplo 3: Esboce algumas curvas de nível da função do exemplo 2:
Solução: As curvas de nível são gráficos, no plano xy, de equações da forma fx, y k , isto é,
9 − x
2 − y
2 k ou x
2 y
2 9 − k
2
. Essas curvas são círculos, desde que 0 ≤ k ≤ 3. Fazendo k 0, 5 e 8 ,
obtemos os círculos de raios 3, 2 e 1.
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Exemplo 4: Descreva o domínio de f , ache os valores indicados, faça um esboço do gráfico e de três
curvas de nível:
a) fx, y 4x
2 y
2
, f−2, 5, f5,−2, f0,−2.
b) fu, v 6 − 3u − 2v, f2, 3, f−1, 4.
2
a) fx, y 4x
2 y
2 b) fu, v 6 − 3u − 2v
1.3 Funções com Três Variáveis
DEFINIÇÃO 2: Uma função de três variáveis (reais) é definida analogamente, com a diferença que o
domínio D é agora um subconjunto de 3
. Para cada x, y,z em D está associado um número real fx, y,z.
Exemplo 5. Determine as curvas de superfície da função fx, y,z x
2 y
2 z
2
. (exemplo 15 página 895)
1.4 LISTA DE EXERCÍCIOS 1
1) seja fx, y lnx y − 1. a) Estime f1, 1. b) Estime fe, 1. c) Determine o domínio e a imagem de f.
2) seja fx, y x
2
e
3xy
. a) Estime f2, 0. b) Determine o domínio e a imagem de f.
3) Descreva a região R no plano xy que corresponde ao domínio da função dada e encontre a imagem da
função:
a) fx, y 4 − x
2 − y
2 R.: D x, y\x
2 y
2 ≤ 4 ; Im 0, 2
b) fx, y 4 − x
2 − 4y
2 R.: D x, y\
x
2
4
y
2 ≤ 1 ; Im z ∈ \0 ≤ z ≤ 2
c) z
x y
xy R.: D x, y\x ≠ 0, y ≠ 0 ; Im
d) fx, y ln4 − x − y R.: D x, y\y 4 − x ; Im
e) fx, y e
x
y R.: D x, y\y ≠ 0 ; Im
∗ z ∈ \z 0
4) Descreva as curvas de nível de cada função, correspondentes aos níveis c dados:
a) fx, y 25 − x
2 − y
2
c 0, c 3, c 5
b) fx, y xy c 1,3,6
3
c) fx, y,z x
2 y
2 z
2
c 9
5) Esboce o gráfico da superfície definida pela função:
a) z 4 − x
2 − y
2
; b) z y
2
; c) z 6 − 2x − 3y; d) fx, y 3; e) fx, y 1 − x − y; f) fx, y y; g)
fx, y x
2 y
2
; h) fx, y cos x.
.
14) Resolva os exercícios ímpares do número 13 ao 45 do livro: Cálculo Ja