Question

qual é a matriz inversa de

Answer 1

A matriz A⁻¹ é dita inversa de uma matriz A quando: $AA^{-1}=I$, onde I é a matriz identidade da ordem de A. Assim, supondo A⁻¹ de uma forma genérica:

$AA^{-1}=I\\\\ \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\\\\\\ \left(\begin{matrix}3a+2c&3b+2d\\a+c&b+d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\\\\\\ \begin{cases}3a+2c=1~~(i)\\a+c=0\iff c=-a~~(ii)\\3b+2d=0\iff d=-\dfrac{3}{2}b~~(iii)\\b+d=1~~(iv)\end{cases}$

Usando (ii) em (i):

$3a+2c=1\\\\ 3a+2(-a)=1\\\\ 3a-2a=1\\\\ \boxed{a=1}\Longrightarrow \boxed{c=-1}$

Usando (iii) em (iv):

$b+d=1\\\\ b+\left(-\dfrac{3}{2}b\right)=1\\\\ b-\dfrac{3}{2}b=1\\\\ -\dfrac{b}{2}=1\\\\ \dfrac{b}{2}=-1\\\\ \boxed{b=-2}\\\\\\ \Longrightarrow d=\dfrac{3}{2}(-2)=-\dfrac{6}{2}\iff\boxed{d=-3}$

Assim, a inversa da matriz dada é:

$\boxed{A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&-3\end{matrix}\right)}$