Question

Qual é a maior quantidade de inteiros que podemos escolher de conjunto 1, 2, 3, ..., 2017 de modo que a diferença entre quaisquer dois deles não seja um número primo a)505 b)506 c)507 d)508 e)509

Answer 1

Primeiro, acho bom escrever em na forma de uma progressão aritmética, pois englobamos todas as características

Seja "n" o termo na posição "n". (n=1 é o primeiro, n=2 é o segundo, etc)

Temos que o conjunto é dado por:

$a_n=n$

Como vai de 1 até 2017, 1≤n≤2017

Agora, vamos escolher um número "k" números depois:

$a_{n+k}=(n+k)$

A diferença entre esses dois números quaisquer será:

$a_{n+k}-a_n=(n+k)-n=k$

Logo, para que a diferença não seja um número primo, k não pode ser um número primo. Além disso, como o exercício pede a maior quantidade, o espaçamento entre cada número deve ser o menor possível, ou seja, k deve ser o primeiro número não-primo:

Não podemos escolher 1, pois não afeta em nada. Também não podemos escolher 2 ou 3, já que são primos. Logo, k deve ser igual a 4. Precisamos de uma sequência na qual independente de quais números pegarmos, a diferença entre eles sempre será um múltiplo de 4.

Com isso, nossa sequência fica assim:

{1,5,9,13,..., 2009,2013,2017}

Agora, é só contar quantos termos temos nessa sequência e acharemos o resultado.

Essa nova sequência terá lei de formação da seguinte forma:

$a_n=4n-3$

Como o último termo é 2017;

$a_n=4n-3\\2017=4n-3\\4n=3+2017\\4n=2020\\n=2020 :4\\n=505$

Portanto, há 505 números inteiros.

Se estiver com alguma dúvida, pode mandar um comentário. Bons estudos ^^