Question

Qual é a maior potência de 10 que divide j= 1x2x3x4x5…x800?

Answer 1

Como 10 = 2 x 5, o problema se resume a determinar os expoentes de 2 e de 5 na decomposição de 800! Em fatores primos. 

O maior múltiplo de 5 menor ou igual a 800 é 800. Logo, há 800/5 = 160 múltiplos de 5 entre 1 e 800. A maior potência de 5 menor ou igual a 800 é 625 = 5^4.. Logo, dentre os múltiplos de 5 <= 800, os que são potência de 5 são 5, 5^2...5^4. O expoente do produto destas potências é 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Sem ser potência de 5, há, até 800, 160 - 4 = 156 múltiplos de 5. Logo, o expoente de 5 na fatoração de 800! é 156 + 10 = 166. 

De 2 a 800 há 800/2 = 400 números pares. A maior potência de 2 menor ou igual a 800 é 512 = 2^9. O expoente do produto das mesmas é 1 + 2 +....9 = 9 x 20/2 = 45. Assim, o expoente de 2 na fatoração de 800! é 400 - 9 + 45 = 436. 

Logo, 800! é divisível por 2^436 x 5^166 = 2^270 x 10^166. A maior potência de 10 que divide 800! é, portanto, 10^166. 800! Termina rm 166 zeros.