Question

Qual é a inversa da matriz 
$\left[\begin{array}{ccc}3&7\\5&11\end{array}\right]$  ?

Resposta:
$\left[\begin{array}{ccc}-11/2&7/2\\5/2&<span>-3/2</span>\end{array}\right]$

 

Answer 1

Chamemos a matriz acima de "A", então acharemos a sua inversa "A^(-1)" multiplicando ambas e igualando o resultado à matriz identidade de ordem 2. Assim: 

$A= \left[\begin{array}{ccc}3&7\\5&11\end{array}\right] ;A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] ; I_{2}= \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] ;$

Multiplicando A por A^(-1):
$\left[\begin{array}{ccc}3a+7c&3b+7\\5a+11c&5b+11d\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] \\ \\ \left \{ {{3a+7c=1} \atop {5a+11c=0}} \right. ; \left \{ {{3b+7d=0} \atop {5b+11d=1}} \right.$

Resolvendo os dois sistemas, obteremos os valores das incógnitas, que serão os elementos da matriz inversa.:

$\left \{ {{3a+7c=1(*5)} \atop {5a+11c=0(*3)}} \right. \\ \left \{ {{15a+35c=5} \atop {15a+33c=0}} \right.$

Inverte-se os sinais da segunda equação e somam-se ambas:

$15a-15a+35c-33c=5 \\ 2c=5 \\ c=\frac{5}{2}$

Substituindo o valor de c na primeira equação:

$3a+7c=1 \\ 3a+7* \frac{5}{2} =1 \\ 3a+ \frac{35}{2}=1 \\ \frac{6a+35}{2}=1 \\ 6a+35=2 \\ a= \frac{-33}{6} = \frac{-11}{2}$

Agora, resolvendo o segundo sistema:

$\left \{ {{3b+7d=0(*5)} \atop {5b+11d=1(*3)}} \right. \\ \\ \left \{ {{15b+35d=0} \atop {15b+33d=3}} \right. \\ \\ 15b-15b+35d-33d=-3 \\ \\ 2d=-3 \\ \\ d= \frac{-3}{2}$

Substituindo o valor de d na segunda equação do sistema: 

$5b+11d=1 \\ \\ 5b+11* \frac{-3}{2}=1 \\ \\ 5b -\frac{33}{2} =1 \\ \\ \frac{10b-33}{2}=1 \\ \\ 10b-33=2 \\ \\ 10b=35 \\ \\ b= \frac{35}{10}= \frac{7}{2}$

Logo, a matriz inversa será:

$A^{(-1)}= \left[\begin{array}{ccc}\frac{-11}{2}&\frac{7}{2}\\\frac{5}{2}&\frac{-3}{2}\end{array}\right]$

Espero ter ajudado. Abraços!