Question

Qual é a integral tripla?

Answer 1

Resposta:

Letra A

Explicação passo a passo:

Normalmente vc tem que encontrar os limites de integração, mas como ja veio dado, agora tem que ver a ordem de integração. Dá pra ver que ta assim "dz dy dx", ou seja, vai integrar com relação a z primeiro, depois y e depois x. Quando tiver integrando com relação a uma variável, as outras são consideradas constantes (igual derivada parcial).

Integrando com relação a z:

$\int\limits^\frac{\pi}{3} _0 {xysen(yz)} \, dz\\ \\xy\cdot\int\limits^\frac{\pi}{3} _0 {sen(yz)} \, dz\\\\xy\cdot\int\limits^\frac{\pi}{3} _0 \frac{sen(u)}{y} } \, du\\\\x(-cos(yz)|_0^\frac{\pi}{3} \\\\x(-cos(\frac{y\pi}{3})-(-cos(0) )\\\\x(-cos(\frac{y\pi}{3})+1)$

Agora pega oq saiu disso e integra com relação a y:

$\int\limits^\frac{\pi}{2} _0 {x(-cos(\frac{y\pi}{3})+1)} \, dy\\ \\x\cdot\int\limits^\frac{\pi}{2} _0 {(-cos(\frac{y\pi}{3})+1)} \, dy\\\\x\cdot(\int\limits^\frac{\pi}{2} _0 {-cos(\frac{y\pi}{3})} \, dy+\int\limits^\frac{\pi}{2} _0 {1} \, dy)$        Resolvidas essas 2 integrais (são de boa)

$x(-\frac{3}{\pi}sen(\frac{\pi^2}{6})+\frac{\pi}{2})$

Agora integrando com relação a x:

$\int\limits^\pi_0 {x(-\frac{3}{\pi}sen(\frac{\pi^2}{6})+\frac{\pi}{2})} \, dx$      

se perceber, toda a expressão que o x multiplica é constante, logo sai da integral

$(-\frac{3}{\pi}sen(\frac{\pi^2}{6})+\frac{\pi}{2})\int\limits^\pi_0 {x} \, dx\\\\(-\frac{3}{\pi}sen(\frac{\pi^2}{6})+\frac{\pi}{2})\cdot (\frac{\pi^2}{2})$

fazendo esse produto vms ter:

$-\frac{3}{2}\pi sen(\frac{\pi^2}{6})+\frac{\pi^3}{4})$

colocando o pi em evidencia:

$\pi(-\frac{3}{2}sen(\frac{\pi^2}{6})+\frac{\pi^2}{4})$

agora somando essas duas parcelas (tirando o mmc do denominador):

$\pi(\frac{-6sen(\frac{\pi^2}{6})+\pi^2 }{4})$

colocando o 4 para fora graças a deus temos a resposta:

$\frac{\pi}{4} ({-6sen(\frac{\pi^2}{6})+\pi^2 )$

OBS: cadê meus 3 reais