Question

Qual é a integral indefinida?
∫$\frac{1}{x^{2}+9 }$ dx

Answer 1

Encontrar a integral indefinida

$\displaystyle\int\!\frac{1}{x^2+9}\,dx\\\\\\ =\int\!\frac{1}{x^2+3^2}\,dx\qquad\quad\mathbf{(i)}$


Faça a seguinte substituição trigonométrica:

$x=3\,\mathrm{tg\,}t~~\Rightarrow~~\left\{\! \begin{array}{l} dx=3\sec^2 t\,dt\\\\ t=\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{\,x\,}{3}\right),\quad\text{com }-\dfrac{\,\pi\,}{2}<\dfrac{\,x\,}{3}<\dfrac{\,\pi\,}{2} \end{array} \right.$


Além disso, temos

$x^2+3^2\\\\ =(3\,\mathrm{tg\,}t)^2+3^2\\\\ =9\,\mathrm{tg^2\,}t+9\\\\ =9(\mathrm{tg^2\,}t+1)\\\\ =9\sec^2 t$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ a integral fica

$=\displaystyle\int\!\frac{1}{9\sec^2 t}\cdot 3\,\sec^2 t\,dt\\\\\\ =\int\!\frac{\,1\,}{3}\,dt\\\\\\ =\frac{\,1\,}{3}\,t+C\\\\\\ =\frac{\,1\,}{3}\,\mathrm{arctg}\!\left(\frac{\,x\,}{3}\right)+C$


$\therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int\!\frac{1}{x^2+9}\,dx=\frac{\,1\,}{3}\,\mathrm{arctg}\!\left(\frac{\,x\,}{3}\right)+C \end{array}}\qquad\checkmark$


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Bons estudos! :-)


Tags: integral indefinida substituição trigonométrica tg tan sec arctg arctan cálculo integral