Question

Qual é a integral indefinida de x* sen4x dx

Answer 1

• O resultado da sua integral indefinida é -xcos(4x)/4 + sen(4x)/16 + k.

Perceba que sua integral é a integral de um produto de funções. Logo,  iremos aplicar a integração por partes. Dada por:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\boxed{\boxed{\green{\int u\cdot dv = u\cdot v-\int v\cdot du}}}\end{aligned} }$

• Logo, sua integral indefinida passa a ser:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int x\cdot sen(4x)\ dx \Leftrightarrow x\cdot \frac{-cos(4x)}{4} - \int \frac{-cos(4x)}{4}\ dx\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int x\cdot sen(4x)\ dx \Leftrightarrow \frac{-xcos(4x)}{4} - \int \frac{-cos(4x)}{4}\ dx\end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int x\cdot sen(4x)\ dx \Leftrightarrow \frac{-xcos(4x)}{4} + \underbrace{\int \frac{cos(4x)}{4}\ dx}_{Integre\ de\ novo}\end{aligned} }$

Perceba que uma parte da resposta já está ali, agora devemos apenas resolver a integral que sobrou. Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int x\cdot sen(4x)\ dx \Leftrightarrow \frac{-xcos(4x)}{4} + \frac{1}{4}\int cos(4x)\ dx\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int x\cdot sen(4x)\ dx \Leftrightarrow \frac{-xcos(4x)}{4} + \frac{1}{4}\cdot \frac{sen(4x)}{4} \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int x\cdot sen(4x)\ dx \Leftrightarrow \frac{-xcos(4x)}{4} + \frac{sen(4x)}{16}\ +k\end{aligned}$

• Portanto, integrando xsen(4x) temos como resposta:

$\therefore \large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\boxed{\boxed{\green{\frac{-xcos(4x)}{4} + \frac{sen(4x)}{16}\ +k}}}\end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Integrais indefinidas.

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