Question

qual é a integral indefinida de ∫√3x+5 dx

Answer 1

Após a realização dos cálculos fornecidos pelo enunciado concluímos que:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (\sqrt{3x+5}) \: dx = \dfrac{2}{9}\: \left( 3x +5\right)^{3/2} +C } }$

O teorema fundamental do cálculo estabelece uma relação entre a integral e a primitiva de uma função $\boldsymbol{ \textstyle \sf f }$.

A notação:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ \int f(x)\: dx = F(x) \quad significa \quad F'(x) = f(x) } }$

Exemplo:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\int (4x+5)\: dx = 2x^{2} +5x +C } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{d}{dx} \;(2x^{2} +5x +C ) = 4x + 5 } }$

Integração por Substituição:

$\Large \displaystyle \mathsf{ du = u'(x)dx }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (\sqrt{3x+5}) \: dx } }$

Aplicando a definição, fazendo a integral por substituição; temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ u =3x+5 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ du = (3x+5)'dx }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ du = 3dx }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ dx = \frac{1}{3} \: du } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (\sqrt{3x+5}) \: dx = \dfrac{1}{3} \int \sqrt{u} \: du = \dfrac{1}{3} \int u^{1/2}\: du } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (\sqrt{3x+5}) \: dx = \dfrac{1}{3} \cdot\dfrac{u^{n+1}}{n + 1} + C } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (\sqrt{3x+5}) \: dx = \dfrac{1}{3} \cdot\dfrac{u^{1/2+1}}{1/2 + 1} + C } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (\sqrt{3x+5}) \: dx = \dfrac{1}{3} \cdot\dfrac{u^{3/2}}{3/2 } + C } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (\sqrt{3x+5}) \: dx = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot u^{3/2} + C } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (\sqrt{3x+5}) \: dx = \dfrac{2}{9} \cdot \left ( \sqrt{3x +5} \right)^{3/2} + C } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int (\sqrt{3x+5}) \: dx = \dfrac{2}{9} \left( 3x +5\right)^{3/2} +C }$

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