Question

Qual é a integral dupla que calcula a área da superfície cortada do parabolóidide 3x²+3y²-z=0 entre o plano z=0 e o plano z=12?

Answer 1

$\boxed{\boxed{Area = \int\limits \int\limits_{Rxy} { \sqrt{1+( \frac{\partial f}{\partial x} )^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2} } \, dA }}$

temos
$3x^2+3y^2-z =0\\\\\\\\\boxed{\boxed{ z= 3(x^2+y^2)}}$


lela é imitada pelos planos
 z=0
 z=12   -> a altura via de 0 a 12

$0 = 3(x^2+y^2)\\\\ \boxed{0=x^2+y^2}$ 
isso mostra que quando z=0 ..x e y tambem são 0 ..
raio da base = 0


$\\\\12=3(x^2+y^2)\to \boxed{4=x^2+y^2}$
isso mostra que quando z = 12...nessa altura vc tem um circulo de raio $\sqrt{4}=2$
raio do topo = 2
............................................................
temos a função

$Z = f(x,y) = 3x^2+3y^2$

fazendo as derivadas parciais
$\frac{\partial f(x,y)}{x} = 6x\\\\\\ \frac{\partial f(x,y)}{y} = 6y$

substituindo na integral

$\int\limits \int\limits_{Rxy} { \sqrt{1+( 6x )^2+(6y)^2} } \, dA = \boxed{\boxed{ \int\limits \int\limits_{Rxy} { \sqrt{1+36(x^2+y^2)} } \, dA }}$


a região é uma região circular
então transformando em coordenadas polares

então
$dA= r.dr.d\theta$
 
o raio varia de 0 a 2
como é um circulo o angulo varia de 0 a 2π

$\Bmatrix{0 \leq r \leq 2\\\\0 \leq \theta \leq 2 \pi }\end$


lembrando que

$x^2+y^2 = r^2$

temos
$\boxed{\boxed{ A=\int\limits^{2 \pi }_0 \int\limits^2_0 { (\sqrt{1+36r^2} }) \, r.dr.d\theta }}$

essa é a integral que calcula a area dessa superficie