Question

Qual é a integral de x^3dx/raiz de x^2+4?

Answer 1

Olá! Faremos a integral por Substituição Trigonométrica. Acompanhe:

$\displaystyle \int \frac{x^3 \, dx}{\sqrt{x^2+4}} \\\\\\ \int \frac{x^3}{\sqrt{4+x^2}} \, dx \\\\\\ \int \frac{x^3}{\sqrt{2^2+x^2}} \, dx \\\\\\ x=2 \tan \theta \\\\ dx=2 \sec^2 \theta \, \, d \theta$

Há sempre uma tabela nos livros de Cálculo indicando qual a substituição adequada para cada tipo de funções. Bom, continuando:

$\displaystyle \int \frac{x^3}{\sqrt{4+x^2}} \, dx \\\\\\ \int \frac{(2 \tan \theta)^3}{\sqrt{4+(2 \tan \theta)^2}} \cdot 2 \sec^2 \theta \, \, d \theta \\\\\\ \int \frac{8 \tan^3 \theta}{\sqrt{4+4 \tan^2 \theta}} \cdot 2 \sec^2 \theta \, \, d \theta \\\\\\ \int \frac{16 \tan^3 \theta}{\sqrt{4 \cdot (1+\tan^2 \theta)}} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta$

De acordo com a identidade trigonométrica:

$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \\\\ \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$

Temos:

$\displaystyle \int \frac{16 \tan^3 \theta}{\sqrt{4 \sec^2 \theta}} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta \\\\\\ \int \frac{16 \tan^3 \theta}{2 \sec \theta} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta \\\\\\ 8 \cdot \int \tan^3 \theta \sec \theta \, \, d \theta$

Utilizando mais outras identidades trigonométricas para facilitar:

$\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\\\\\ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$

Temos:

$\displaystyle 8 \cdot \int \frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta} \cdot \frac{1}{\cos \theta} \, \, d \theta \\\\\\ 8 \cdot \int \frac{\sin^3 \theta}{\cos^4 \theta} \, \, d \theta \\\\\\ 8 \cdot \int \frac{\sin^2 \theta}{\cos^4 \theta} \cdot \sin \theta \, \, d \theta$

Utilizando mais uma identidade:

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \\\\ \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

Temos:

$\displaystyle 8 \cdot \int \frac{1-\cos^2 \theta}{\cos^4 \theta} \cdot \sin \theta \, \, d \theta \\\\\\ u = \cos \theta \\\\ du = - \sin \theta \, \, d \theta \\\\\\ -8 \cdot \int \frac{1-u^2}{u^4} \, du \\\\\\-8 \cdot \int \frac{1}{u^4}-\frac{1}{u^2} \, du \\\\\\ -8 \cdot \bigg( -\frac{1}{3u^3}+\frac{1}{u} \bigg) + C \\\\\\ \frac{8}{3u^3}-\frac{8}{u} + C \\\\\\ \frac{8}{3 \cos^3 \theta} - \frac{8}{\cos \theta} + C$

Agora temos que atribuir uma expressão para a nossa integral, basicamente encontrar um valor para o cosseno aí presente. De começo temos a premissa:

$\displaystyle x = 2 \tan \theta \\\\ \tan \theta = \frac{x}{2}$

Podemos comparar as seguintes fórmulas e imaginar um triângulo reto:

$\displaystyle \tan \theta = \frac{x}{2} \\\\\\ \tan \theta = \frac{\mathsf{cateto \, \, oposto}}{\mathsf{cateto \, \, adjacente}}$

Percebemos que esse triângulo terá seu Cateto Oposto sendo x e seu Cateto Adjacente sendo igual a 2, e a hipotenusa será dada a partir do Teorema de Pitágoras:

$h^2=2^2+x^2 \\\\ h = \sqrt{4+x^2}$

Pronto, com os valores dos catetos e da hipotenusa em mãos, podemos encontrar uma expressão para o cosseno, de acordo com a seguinte fórmula:

$\displaystyle \cos \theta = \frac{\mathsf{cateto \, \, adjacente}}{\mathsf{hipotenusa}} \\\\\\ \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{4+x^2}}$

Agora só substituir e simplificar:

$\displaystyle \frac{8}{3 \cos^3 \theta} - \frac{8}{\cos \theta} + C \\\\\\ \frac{8}{\displaystyle 3 \cdot \bigg(\frac{2}{\sqrt{4+x^2}} \bigg)^3} - \frac{8}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4+x^2}}} + C \\\\\\ \frac{8}{\displaystyle \frac{24}{(4+x^2)^{3/2}}} - \frac{8}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4+x^2}}} + C \\\\\\ 8 \cdot \frac{(4+x^2)^{3/2}}{24} - 8 \cdot \frac{\sqrt{4+x^2}}{2} + C \\\\\\ \boxed{\boxed{\frac{(4+x^2)^{3/2}}{3}-4\sqrt{4+x^2} + C }}$

Bom, é apenas isso.