Question

Qual é a integral de cos(x)^2.
Desde já agradeço.

Answer 1

$\int\ { cos^{2}x } \, dx$

Devemos fazer uma substituição. 

Para isso, vamos considerar duas identidades trigonométricas e formar um sistema com elas:

$\left \{ {{ cos^{2}x + sen^{2}x =1} \atop {cos^{2}x - sen^{2}x=cos2x}} \right.$

A segunda identidade vem de:
cos(a + b) = cosa.cosb-sena.senb
cos(x + x) = cosx.cosx - senx.senx
cos2x = cos²x - sen²x

No sistema

$\left \{ {{ cos^{2}x + sen^{2}x =1} \atop {cos^{2}x - sen^{2}x=cos2x}} \right.$

Fazendo uma adição das duas equações:

$cos^{2}x + cos^{2}x + sen^{2}x - sen^{2}x = 1 + cos(2x) \\ \\ cos^{2}x + cos^{2}x = 1 + cos(2x) \\ \\ 2cos^{2}x = 1 + cos(2x) \\ \\ cos^{2}x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$

Agora sim, sempre que quiser poderá fazer essa substituição. Para sen²x, basta subtrair as duas equações, deverá encontrar sen²x = 1-cos(2x)   /2

Agora, vamos para a integral:

$\int\ { cos^{2}x } \, dx =\int\ { \frac{1 + cos(2x)}{2} } \, dx = \int\ { \frac{1}{2} + \frac{cos(2x)}{2} } \, dx$

Lembrando que podemos dividir a integral de uma soma, na soma das integrais:

$\int\ { \frac{1}{2} + \frac{cos(2x)}{2} } \, dx= \int\ {\frac{1}{2} } \, dx + \int\ { \frac{cos(2x)}{2}} \, dx$

Colocando as constantes para fora:

$\int\ {\frac{1}{2} } \, dx + \int\ { \frac{cos(2x)}{2}} \, dx = \frac{1}{2}\int\ \, dx + \frac{1}{2} \int\ { cos(2x)} \, dx \\ \\ integrando: \\ \\ \frac{1}{2}\int\ \, dx = \frac{x}{2} + C \\ \\ \frac{1}{2} \int\ { cos(2x)} \, dx = \\ u=2x => du = 2 dx \\ \\ \frac{1}{2}. \frac{1}{2} \int\ { cos(2x)} \, 2 dx$

criei um 2.dx para chamar de du, por isso multipliquei a integral por 1/2

$\frac{1}{2}. \frac{1}{2} \int\ { cos(2x)} \, 2 dx = \frac{1}{4} \int\ { cos(u)} \,du = \frac{1}{4} . sen(u) + C \\ \\ u = 2x \\ \\ \frac{1}{4} . sen(2x) + C$

Juntando: 

$\int\ { cos^{2}x } \, dx = \frac{x}{2} + C + \frac{1}{4}sen(2x) + C \\ \\ \int\ { cos^{2}x } \, dx = \frac{x}{2} + \frac{sen(2x)}{4} + C$

Se quiser, ainda pode abrir o sen(2x) = sen (x + x) = senx . cosx + senx . cosx = 2senx . cosx

$\int\ { cos^{2}x } \, dx = \frac{x}{2} + \frac{sen(2x)}{4} + C \\ \\ \int\ { cos^{2}x } \, dx = \frac{x}{2} + \frac{2sen(x)cos(x)}{4} + C = \frac{x}{2} +\frac{sen(x)cos(x)}{2} = \\ \\\int\ { cos^{2}x } \, dx= \frac{1}{2} . (x + sen(x)cos(x)$

Então é isso. Espero ter ajudado.