Question

Qual é a função inversa da função g(x) = 4+5^x

Answer 1

Sabendo que $g$ é uma função bijetora, concluímos que $g$ possui inversa $g^{-1}\,,$ e que por definição

$g\big(g^{-1}(x)\big)=x$


Mas se $g(x)=4+5^x\,,$ então,

$g\big(g^{-1}(x)\big)=4+5^{g^{-1}(x)}\\\\ x=4+5^{g^{-1}(x)}\\\\ 5^{g^{-1}(x)}=x-4$


Aplicando logaritmo de base 5 aos dois lados da igualdade acima, temos

$\mathrm{\ell og}_5\,\big(5^{g^{-1}(x)}\big)=\mathrm{\ell og}_5\,(x-4)\\\\ g^{-1}(x)\cdot \mathrm{\ell og}_5\,5=\mathrm{\ell og}_5\,(x-4)\\\\ g^{-1}(x)\cdot 1=\mathrm{\ell og}_5\,(x-4)\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} g^{-1}(x)=\mathrm{\ell og}_5\,(x-4) \end{array}}~~~~~~\text{com }x>4$