Qual é a função f cuja derivada é dada por f'(x) = ln(2x) e f(1) = 0 e ?
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Resposta:
f'(x) = ln(2x)
dy/dx=ln(2x)
dy = ln(2x) dx
∫ dy =∫ ln(2x) dx ...fazendo u=2x ==>du=2 dx
y = ∫ ln(u) du/2
y =(1/2)* ∫ ln(u) du
Fazendo por partes ==>∫ ln(u) du
k=ln(u) ==>dk= (1/u) du
du=dh ==> ∫ du=∫ dh ==>u=h
∫ ln(u) du = u *ln(u) - ∫u (1/u) du =u *ln(u) - ∫ du =u *ln(u) - u + c
Sabemos que u =2x , ficamos então com:
y =(1/2)* [2x *ln(2x) - 2x] + c
y =x *ln(2x) - x + c
para f(1)=0 ==>x=1 e y=0
0 =1*ln(2*1) - 1 + c ==>c =1- ln(2)
y= x *ln(2x) - x + 1- ln(2)
f(x) = x *ln(2x) - x + 1- ln(2)
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