Question

Qual é a função f cuja derivada é dada por f'(x) = ln(2x) e f(1) = 0 e ? Escolha uma:? me ajudeeem por favor!

Answer 1

Olá Diego!

Inicialmente, devemos saber que:

$\mathbf{\int f'(x) \ dx = f(x) + C}$

De acordo com o enunciado,

$\mathbf{f'(x) = \ln (2x)}$


Com isso, devemos integrar...

$\mathsf{\int f'(x) \, dx = \int \ln (2x) \, dx}$

 Segue, por integração de partes:

$\\ \displaystyle \mathsf{\int \ln (2x) \, dx =} \\\\\\ \mathsf{\int \ln (2x) \cdot 1 \, dx =} \\\\\\ \mathsf{\ln (2x) \cdot x - \int \left ( \frac{1}{2x} \cdot 2 \right ) \cdot x \, dx =} \\\\\\ \mathsf{\ln (2x) \cdot x - \int 1 \, dx =} \\\\\\ \mathsf{\ln (2x) \cdot x - x + C}$

 Logo,

 $\mathbf{f(x) = \ln (2x) \cdot x - x + c}$.


Além disso, de acordo com o enunciado: $\mathbf{f(1) = 0}$.

Isto posto,

$\\ \mathsf{f(x) = \ln (2x) \cdot x - x + c} \\\\ \mathsf{f(1) = \ln 2 \cdot 1 - 1 + c} \\\\ \mathsf{0 = \ln 2 - 1 + c} \\\\ \boxed{\mathsf{c = 1 - \ln 2}}$

 Por fim, concluímos que:

$\boxed{\boxed{\mathsf{f(x) = \ln (2x) \cdot x + x + 1 - \ln 2}}}$


Obs.: integral por partes:

$\mathbf{\int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx}$

 Nesta tarefa, considerei $\mathbf{f(x) = \ln (2x)}$ e $\mathbf{g(x) = 1}$