Question

Qual é a função f cuja derivada é dada por f'(x) = In(2x) + 1 e f(1) = 0? a) f(x) = x In(2x) – 2x + 2 b) f(x) = In(2x) – In2 c) f x x ( ) = 2 − 2 d) f(x) = In(2x) + 1 e) f(x) = x In(2x) – In2

Answer 1

Olá

Basta calcular a integral da função f'(x), e irar retornar o valor de f(x).

$f'(x)=ln(2x)+1 \\ \\ \displaystyle \int (ln(2x)+1)dx \\ \\ \\ \int ln(2x)dx~~+~~\int dx \\ \\ \\ =xln(2x)~-~x ~+~x \\ \\= xln(2x)+C$

Agora temos que satisfazer a segunda condição, que é f(1)=0 para isso
substituir o 1 na função que encontramos para definir o valor do C.

$f(x)=xln(2x)+C=0 \\ \\ f(1)=1\codt ln(2\cdot 1)+C=0 \\ \\ ln(2)+C=0 \\ \\ C=-ln(2)$

Portanto a função f é

$\boxed{f(x)=xln(2x)-ln(2)}$


Alternativa e)