Question

Qual é a função f, cuja derivada é dada por f'(x) = 6x2 - 4x - 3 e f(0) = 5?

Escolha uma:
a. f(x) = 2x3 -2x2 - 3x
b. f(x) = 2x3 - 2x2 - 3x +5
c. f(x) = 5
d. f(x) = 6x2 - 4x - 3x +5
e. f(x) = 12x + 5

Answer 1

Resposta:

f(x) = 2x³ - 2x² - 3x + 5

Explicação passo-a-passo:

Para saber qual a função, precisamos integrar.

$\int (6 {x}^{2} - 4x - 3) dx \\ \int(6 {x}^{2} ) dx - \int (4x) dx - \int (3) dx \\ 6 \int ( {x}^{2} ) dx - 4 \int (x) dx - 3 \int \: dx \\ 6. (\frac{ {x}^{3} }{3} ) - 4.( \frac{ {x}^{2} }{2} ) - 3x \\ \frac{6}{3} {x}^{3} - \frac{4}{2} {x}^{2} - 3x \\ 2 {x}^{3} - 2 {x}^{2} - 3x + c$

Portanto, a função f é 2x³ - 2x² - 3x + c, mas precisamos, ainda, saber o valor da constante C. Calculando f(0) = 5, temos:

$f(0) = 5 = > 2. {0}^{3} - 2 .{0}^{2} - 3.0 + c = 5 = > c = 5$

Logo, a função procurada é f(x) = 2x³ - 2x² - 3x + 5.

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\boxed{f(x) = 2x^3 -2x^2 - 3x + 5}}}$

Explicação passo-a-passo:

Observe que para a resolução desse exercício podemos recorrer a dois métodos. O primeiro método consiste e calcular a integral da função da função derivada, pois o mesmo nos levará a função procurada. Agora, o segundo método pode ser usado caso você não tenha domínio das integrais, que seriá, portanto, derivar todas as funções presentes nas alternativa de modo a achar a derivada indicada no enunciado. [Traduzindo...]

Primeiro Método

— Consiste em calcular a integral da função que foi derivada (no enunciado). Caso não sejes bom em relação as integrais, vamos explicar passo-a-passo de modo a enriquecer o seu conhecimento :)

$\Leftrightarrow \int \big( 6x^2 - 4x - 3 \big) d(x)$

$\Leftrightarrow \int 6x^2~d(x) - \int 4x~d(x) - \int 3~ d(x)$

$\Leftrightarrow 6*\int x^2~d(x) - 4*\int x~d(x) - 3x$

Sabe-se que, $\int  \green{x}^n \: d(x) = \dfrac{\green{x}^{n + 1} }{n + 1}$, deste modo,

$\Leftrightarrow 6* \left( \dfrac{x^{2 + 1} }{2 + 1} \right) - 4* \left( \dfrac{x^{1 + 1} }{1 + 1} \right) - 3x$

$\Leftrightarrow  \cancel{6}* \left( \dfrac{x^{2} }{\cancel{3}} \right) - \cancel{4}* \left( \dfrac{x^{2} }{\cancel{2}} \right) - 3x$

$f(x) = 2x^3 -2x^2 - 3x$  , como f(0) = 5, a função procurada será,

$\boxed{\boxed{f(x) = 2x^3 -2x^2 - 3x + 5}}}$

Opção B

Segundo Método

— Consiste em derivar as funções destacadas nas alternativas, todavia, primeiramente podemos calcular o f(0) para verificar quais podemos descartar e quais serão úteis, lembrando que f(0) deve ser igual a 5.

a) f(x) = 2x³ – 2x² – 3x

f(0) = 2•0³ – 2•0² – 3•0

f(0) = 0  (opção inútil)

b)  f(x) = 2x³ - 2x² - 3x +5

f(0) = 2•0³ – 2•0² – 3•0 + 5

f(0) = 5 (opção útil)

c) f(x) = 5

Uma vez que a equações e linear, impossivelmente o expoente será do segundo grau, para piorar, a  de uma constante é zero. (opção inútil)

d) f(x) = 6x² - 4x - 3x +5

[organizando]

f(x) = 6x² -7x + 5

f(0) = 6 • 0² – 7 • 0 + 5

f(0) = 5 (numa primeira fase, caso não domines as derivadas também, essa opção pode ser útil)

e) f(x) = 12x + 5

f(0) = 12 • 0 + 5

f(0) = 5

Apesar de f(0) for igual a 5, saiba que sempre que derivamos uma equação o expoente tende a reduzir uma unidade, então podemos descartar essa opção.

Portanto, restaram as alternativas b e d, vamos lá calcular suas derivadas para verificar se existe uma equivalência com a função derivada no enunciado!

b) f(x) = 2x³ – 2x² – 3x + 5

f'(x) = 2 • 3x² – 2 • 2x – 3 • 1 + 0

f'(x) = 6x² – 4x – 3

Uma vez já encontrada a função derivada no enunciado, não necessário calcular a derivada de d, pois já temos a opção correcta!

Qualquer dúvida, estamos a disposição.

Óptimos estudos!)