Question

Qual é a função f cuja derivada de segunda ordem é dada por f"(x) = 3x -10, sabendo que f'(4) = 16 e f(2) = 10?

Answer 1

Resposta:

Calculando a primeira derivada:

$f'(x)=\int\ {f''(x)} \, dx =>\int\limits {(3x-10)} \, dx=>\int\limits {3x} \, dx-\int\limits {10} \, dx =>\frac{3 }{2}x^{2} -10x +C$

Substituindo para f'(4) = 16 para encontrar C:

$16 =\frac{3 }{2}(4)^{2} -10(4) +C\\C = 32$

Calculando a primitiva de $f'(x)=\frac{3 }{2}x^{2} -10x +32$:

$f(x)=\int\limits {f'(x)} \, dx => \int\limits {(\frac{3 }{2}x^{2} -10x +32)} \, dx =>\int\limits {\frac{3}{2}x^{2} } \, dx -\int\limits {10x} \, dx+\int\limits {32} \, dx$

$f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-5x^{2} +32x+C$

Calculando C:

$10=\frac{1}{2}(2)^{3}-5(2)^{2} +32(2)+C\\C=-38$

Logo a função f é:

$f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-5x^{2} +32x-38$