Question

qual e a funçao cuja a derivada e dada por f´(x) ln=(2x)+1 e f(1)=0

Answer 1

É dado o Problema de Valor Inicial (PVI) dado:

$\begin{cases}f'(x)=\ln(2x)+1\\ f(1)=0\end{cases}$

Considere que $y=f(x)$ e que é conhecido um ponto $y(x_0)=y_0$. Note que a primeira equação do sistema acima é separável. Desenvolvendo-a:

$\displaystyle f'(x)=\ln(2x)+1\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\ln(2x)+1\\\\ \int_{y_0}^y dy=\int_{x_0}^x (\ln(2x)+1)dx\\\\ ~[y]_{y_0}^y =\underbrace{\int_{x_0}^x \ln(2x)\,dx}_{I_1}+\int_{x_0}^x \,dx\\\\ ~[y]_{y_0}^y =I_1+[x]_{x_0}^x\\\\ y-y_0 =I_1+(x-x_0)$

Vamos calcular a integral $I_1$ separadamente. Fazendo a substituição $z=\ln(2x)$:

$\displaystyle z=\ln(2x)\to 2x=e^z\to 2dx=e^zdz\to dx=\dfrac{1}{2}e^{z}dz\\\\ I_1=\int_{x_0}^x \ln(2x)\,dx\\\\ I_1=\int_{z_0}^z z\cdot\dfrac{1}{2}e^z\,dz=\dfrac{1}{2}\int_{z_0}^z z e^z\,dz$

Realizando a integração por partes:


$\displaystyle I_1=\dfrac{1}{2}\int_{z_0}^z z e^z\,dz~~~~~~\begin{matrix} z=u\to dz=du\\ dv=e^zdz\to v=e^z\end{matrix}\\\\ I_1=\dfrac{1}{2}\left(uv-\int vdu\right)\\\\ I_1=\dfrac{1}{2}\left(ze^z|_{z_0}^{z}-\int_{z_0}^z e^zdz\right)\\\\ I_1=\dfrac{1}{2}\left((ze^z-z_0e^{z_0})- [e^z]_{z_0}^z\right)\\\\ I_1=\dfrac{1}{2}\left((ze^z-z_0e^{z_0})-(e^z-e^{z_0})\right)$

Voltando à variável $x$:

$I_1=\dfrac{1}{2}\left((ze^z-z_0e^{z_0})-(e^z-e^{z_0})\right)\\\\ I_1=\dfrac{1}{2}\left((\ln(2x)e^{\ln(2x)}-\ln(2x_0)e^{\ln(2x_0)})-(e^{\ln(2x)}-e^{\ln(2x_0)})\right)\\\\ I_1=\dfrac{1}{2}\left((\ln(2x)\cdot2x-\ln(2x_0)\cdot2x_0)-(2x-2x_0)\right)\\\\ I_1=(x\ln(2x)-x_0\ln(2x_0))-(x-x_0)$

Agora, podemos substituir na expressão que estávamos calculando inicialmente:

$y-y_0 =I_1+(x-x_0)\\\\ y-y_0 =(x\ln(2x)-x_0\ln(2x_0))-(x-x_0)+(x-x_0)\\\\ y-y_0 =x\ln(2x)-x_0\ln(2x_0)$

Como foi dado o ponto $f(1)=0$, vamos considerar $x_0=1$ e $y_0=0$:

$y-y_0 =x\ln(2x)-x_0\ln(2x_0)\\\\ y-0 =x\ln(2x)-1\cdot\ln(2\cdot1)\\\\ y=x\ln(2x)-\ln(2)\\\\ \boxed{f(x)=x\ln(2x)-\ln(2)}$