Question

Qual é a fração geratriz para a dizima periodica 3,27979797979?

Answer 1

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{3,2\overline{79}}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{3.247}{990} }~~~}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Caiane, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo, feita através de algumas manipulações algébricas. ✌

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{ 3,2\overline{79} }}}$

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☔ Quando trabalhamos com frações geratriz devemos seguir basicamente três passos. Chamando nossa dízima periódica de X temos que:

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1. Identificar qual é o período;
2. Multiplicar o nosso número X por uma potência de $\sf 10^m$ de forma que 1 único período da dízima fique do lado esquerdo da vírgula;
3. Subtrair pelo nosso número X multiplicado por uma potência de $\sf 10^n$ de forma que a dízima esteja exatamente à direita da vírgula;
4. Igualar a subtração à $\sf (10^m - 10^n) \cdot x$;
5. Substituir os valores de X na esquerda da igualdade e encontrar o valor de X da direita da igualdade.

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1)$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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☔ Período: 79

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2)$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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☔ 3 casas decimais para a esquerda correspondem a uma multiplicação por 10³.

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➡ $\large\blue{\sf x \cdot 10^3 }$

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3)$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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☔ 1 casa decimal para a esquerda corresponde a uma multiplicação por 10¹.

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➡ $\large\blue{\sf x \cdot 10^1 }$

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4)$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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➡ $\large\blue{\sf = (10^3 - 10^1) \cdot x }$

➡ $\large\blue{\sf = (1.000 - 10) \cdot x }$

➡ $\large\blue{\sf = 990 \cdot x }$

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5)$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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➡ $\large\blue{\sf x \cdot 10^3 - x \cdot 10^1 = (10^3 - 10^1) \cdot x }$

➡ $\large\blue{\sf x \cdot 10^3 - x \cdot 10^1 = 990 \cdot x }$

➡ $\large\blue{\sf 3.279,\overline{79} - 32,\overline{79} = 990 \cdot x }$

➡ $\large\blue{\sf 3.279 + 0,\overline{79} - 32 - 0,\overline{79} = 990 \cdot x }$

➡ $\large\blue{\sf 3.279 - 32 + 0,\overline{79} - 0,\overline{79} = 990 \cdot x }$

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☔ Este é o momento da mágica em que a dízima "desaparece".

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➡ $\large\blue{\sf 3.247 = 990 \cdot x }$

➡ $\large\blue{\sf x = \dfrac{3.247}{990} }$

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☔ Para encontrarmos a forma irredutível desta fração podemos fazer uma fatoração conjunta de ambos os termos e observar qual é o M.D.C. deles através dos fatores primos que dividem ambos simultaneamente

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$\sf\large\blue{\left[\begin{array}{c|c}&\sf\underline{~F~}\\&\\(3.247, 990)&2\\&\\(3.247, 495)&3\\&\\(3.247, 165)&3\\&\\(3.247, 55)&5\\&\\(3.247, 11)&11\\&\\(3.247, 1)&17\\&\\(191, 1)&191\\&\\(1, 1)&\\\end{array}\right]}$

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☔ Sendo o M.D.C. de ambos igual a 1 então temos que esta é a fração geratriz irredutível para a dízima procurada.

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{3,2\overline{79}}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{3.247}{990} }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$