Question

qual é a fração geratriz de 0,777...   1,4333...  0,2626...  0,444...  ?

Answer 1

Fração geratriz de 0,777...:

$x = 0,777...$

Multiplicando a equação por 10:

$10*x=10*0,777...\\10x=7,777...\\10x=7+0,777...$

Como 0,777... = x:

$10x = 7 + x\\10x-x=7\\9x=7\\x=7/9$
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Fração geratriz de 1,4333...:

Veja que 1,4333... = 1,4 + 0,0333... = 1,4 + (0,333.../10)

Trabalharemos em cima da dizima 0,333...

$x=0,333...\\10*x=10*0,333...\\10x=3,333...\\10x=3+0,333...\\10x=3+x\\10x-x=3\\9x=3\\x=3/9\\x=1/3$

$y=1,4333...\\y = 1,4 + (0,333.../10)\\y=1,4+([1/3]/10)\\y=1,4+([1/3]*1/10)\\y=1,4+(1/30)\\y=(30*1,4+1)/30\\y=(42+1)/30\\y=43/30$
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Fração geratriz de 0,2626...:

$x=0,2626...$

Nesse caso (período de 2 dígitos) multiplicamos a equação por 100:

$100*x=100*0,2626...\\100x=26,2626...\\100x=26+0,2626...\\100x=26+x\\100x-x=26\\99x=26\\x=26/99$

P.S: Multiplicamos a equação pela potência de 10 com a quantidade de zeros igual a quantidade de dígitos do período. Quando o período só tem 1 digito, multiplica-se por 10. Quanto tem 2, por 100. Quando tem 3, por 1000, e assim por diante
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Fração geratriz de 0,444...:

$x=0,444...\\10*x=10*0,444...\\10x=4,444...\\10x=4+0,444...\\10x=4+x\\10x-x=4\\9x=4\\x=4/9$
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Veja que eu resolvi todos os tipos de dízima (simples, composta) sem o uso de nenhuma fórmula. As fórmulas que os professores costumam passar para ensinar os alunos a encontrar as frações geratrizes são bem complicadas, geram bastante dúvidas. Com uma básica manipulação de equações (pode tentar com conceitos de progressão geométrica também), resolve-se qualquer tipo de dízima periódica