Question

qual é a formula certa para conseguir a área de base de um prisma hexagonal 3.L².√3/2 ou 6.L².√3/2

Answer 1

Boa tarde Ihago. É a primeira fórmula. Geralmente o pessoal era nas contas...
Veja como chegar a esse valor;

A base de um prisma hexagonal é um hexágono.
A área de um hexágono pode ser conseguida usando a área do triângulo. Desenhando um hexágono, vemos que ele possui 6 triângulos, um para cada lado do hexágono.
Então, conseguindo a área do triângulo, é só multiplicar por 6 para achar a área do hexágono. :)

Vejamos o triângulo na figura anexa. Chamemos seus lados de L.
A área de um triângulo é base vezes altura, sobre dois. Como a base é o lado L, teremos:
$At= \frac{bh}{2} \\ \\ At= \frac{Lh}{2}$

Usando o teorema de Pitágoras, teremos:
$L^{2} = (\frac{L}{2} )^{2} +h \\ \\ L^{2} = \frac{L^{2} }{4} +h^{2} \\ \\ L^{2} - \frac{L^{2} }{4} =h^{2} \\ \\ h^{2} = \frac{3L^{2} }{4} \\ \\ h= \sqrt{ \frac{3L^{2} }{4} } \\ \\ h= \frac{L}{2} * \sqrt{3} \\ \\ h= \frac{L \sqrt{3} }{2}$

Voltando,

Área do triângulo:
$At= \frac{Lh}{2}= \frac{L* \frac{L \sqrt{3} }{2} }{2} = \frac{ \frac{L^{2} \sqrt{3} }{2} }{2} = \frac{L ^{2} \sqrt{3} }{2} * \frac{1}{2} \\ \\ At= \frac{L ^{2} \sqrt{3} }{4}$

Área do hexágono:
$Ah=6*At= 6*\frac{L ^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{6L^{2} \sqrt{3} }{4} \\ \\ Ah= \frac{3L^{2} \sqrt{3} }{2}$

E a área do hexágono é a área do prisma hexagonal, pois sua base é um hexágono.

Acompanhe direitinho esses cálculos acima e na ilustração para você aprender e não mais se confundir.
Abraços. :)