Qual é a expressão mais simples de:
( 4i720+2i1592-4i873+6i440)/ (3i530-2i592+4i395+8i153) Números complexos
Soluções para a tarefa
A simplificação dessa expressão (-76 - 68i)/41.
As potências de números complexos podem ser resumidas em:
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
A partir de i⁴, as potências começam a se repetir pois podemos escrevê-las em função das potências acima (i⁴ = i.i³), sendo assim se dividirmos o expoente de i por 4, obteremos restos de divisão que determinarão seu resultado:
Resto 0: i⁰ = 1
Resto 1: i¹ = i
Resto 2: i² = -1
Resto 3: i³ = -i
Logo:
(4i⁷²⁰ + 2i¹⁵⁹² - 4i⁸⁷³ + 6i⁴⁴⁰)/(3i⁵³⁰ - 2i⁵⁹² + 4i³⁹⁵ + 8i¹⁵³)
Dividindo os expoentes, temos:
720/4 = 180 com resto 0
1592/4 = 398 com resto 0
873/4 = 218 com resto 1
440/4 = 110 com resto 0
530/4 = 132 com resto 2
592/4 = 148 com resto 0
395/4 = 98 com resto 3
153/4 = 38 com resto 1
Reescrevendo, temos:
(4i⁰ + 2i⁰ - 4i + 6i⁰)/(3i² - 2i⁰ + 4i³ + 8i)
(4 + 2 - 4i + 6)/(-3 - 2 - 4i + 8i)
(12 - 4i)/(4i - 5)
Multiplicando o numerador e denominador pelo conjugado de 4i - 5, temos:
(12 - 4i)(-4i - 5)/(4i - 5)(-4i - 5)
(-48i - 60 + 16i² - 20i)/(-16i² + 25)
(-76 - 68i)/41