Matemática, perguntado por FilipeRamos15, 11 meses atrás

Qual é a expressão mais simples de:
( 4i720+2i1592-4i873+6i440)/ (3i530-2i592+4i395+8i153) Números complexos


FilipeRamos15: Estou com dificuldade no assunto, se alguém me ajudar ficarei agradecido.

Soluções para a tarefa

Respondido por andre19santos
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A simplificação dessa expressão (-76 - 68i)/41.

As potências de números complexos podem ser resumidas em:

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = -i

A partir de i⁴, as potências começam a se repetir pois podemos escrevê-las em função das potências acima (i⁴ = i.i³), sendo assim se dividirmos o expoente de i por 4, obteremos restos de divisão que determinarão seu resultado:

Resto 0: i⁰ = 1

Resto 1: i¹ = i

Resto 2: i² = -1

Resto 3: i³ = -i

Logo:

(4i⁷²⁰ + 2i¹⁵⁹² - 4i⁸⁷³ + 6i⁴⁴⁰)/(3i⁵³⁰ - 2i⁵⁹² + 4i³⁹⁵ + 8i¹⁵³)

Dividindo os expoentes, temos:

720/4 = 180 com resto 0

1592/4 = 398 com resto 0

873/4 = 218 com resto 1

440/4 = 110 com resto 0

530/4 = 132 com resto 2

592/4 = 148 com resto 0

395/4 = 98 com resto 3

153/4 = 38 com resto 1

Reescrevendo, temos:

(4i⁰ + 2i⁰ - 4i + 6i⁰)/(3i² - 2i⁰ + 4i³ + 8i)

(4 + 2 - 4i + 6)/(-3 - 2 - 4i + 8i)

(12 - 4i)/(4i - 5)

Multiplicando o numerador e denominador pelo conjugado de 4i - 5, temos:

(12 - 4i)(-4i - 5)/(4i - 5)(-4i - 5)

(-48i - 60 + 16i² - 20i)/(-16i² + 25)

(-76 - 68i)/41

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