Question

Qual é a excentricidade da elipse: 3x^2+4y^2=12? A: 2/3 B: 1/3 C: 1/2 D: -2/3

Answer 1

Temos a seguinte equação elíptica:

$\ast \: \sf 3x {}^{2} + 4y {}^{2} = 12 \: \ast$

Você pode perceber que não está no formato comum, que é dado por:

$\boxed{\sf \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1 \: \: ou \: \: \frac{x {}^{2} }{b {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{a {}^{2} } }$

Portanto, vamos dividir toda a equação elíptica por 12, dessa força surgirá a sua forma padrão:

$( \sf 3x {}^{2} + 4y {}^{2} = 12) \div 12 \\ \\ \sf \frac{3x {}^{2} }{12} + \frac{4y {}^{2} }{12} = \frac{12}{12} \\ \\ \boxed{ \sf \frac{x {}^{2} }{4} + \frac{y {}^{2} }{3} = 1}$

Agora sim conseguiremos encontrar a excentricidade dessa elipse, para isso vamos ter que encontrar o valor do maior eixo e o menor eixo, isso não será difícil, pois se você observar essa elipse possui o maior valor abaixo de x², isso indica que o maior eixo é o eixo horizontal (x) e consequentemente a estrutura dela é:

$\sf \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1$

Tendo essas informações, vamos fazer comparações e encontrar o valor de "a" e "b":

$\sf a {}^{2} = 4 \\ \sf a = \sqrt{4} \\ \boxed{ \sf a = 2} \\ \\ \sf b {}^{2} = 3 \\ \boxed{\sf b = \sqrt{3} }$

Para encontrar o Foco (c), vamos usar uma relação pitagórica entre o eixo maior, eixo menor e o foco:

$\sf a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 2 {}^{2} = ( \sqrt{3} ) {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 4 = 3 + c {}^{2} \\ \sf 4 - 3 = c {}^{2} \\ \sf c {}^{2} = 1 \\ \sf c = \sqrt{1} \\ \boxed{\sf c = 1}$

Por fim é só substituir os dados na fórmula da excentricidade, dada por:

$\boxed{ \sf { e = \frac{c}{a} }}$

Substituindo:

$\boxed{\sf e = \frac{1}{2} \: \: \: ou \: \: 0,5}$

Espero ter ajudado