Question

Qual é a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-2,2) e B(3,1)? Qual é a distância entre A e B?​

Answer 1

A equação reduzida da reta que passa pelos pontos A e B é igual a  $\mathbf{y=-\dfrac{x}{5}+\dfrac{8}{5}}$ e a distância entre os pontos é igual a $\mathbf{\sqrt{26}}$.

• Resolvendo o problema

Qual é a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-2,2) e B(3,1)?

A equação geral de uma reta é dada por

$y-y_P=m(x-x_P)$

onde,

• $x_P$ e $y_P$ são as coordenadas de um ponto sobre a reta
• $m$ é a inclinação da reta

A inclinação (m) de uma reta que passa pelos pontos A e B é dada por

$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Neste caso, temos

$m=\dfrac{1-2}{3-(-2)}=\dfrac{1-2}{3+2}=\dfrac{-1}{5}=-\dfrac{1}{5}$

Logo, a equação reduzida da reta (obtida isolando o y na equação geral), usando as coordenadas do ponto A será igual a

$y-y_A=m(x-x_A)\\\\y-2=-\dfrac{1}{5}(x-(-2))\\\\y-2=-\dfrac{1}{5}(x+2)\\\\5(y-2)=-(x+2)\\\\5y-10=-x-2\\\\5y=-x-2+10\\\\5y=-x+8\\\\y=\dfrac{-x+8}{5}\\\\\boxed{y=-\dfrac{x}{5}+\dfrac{8}{5}}$

Qual é a distância entre A e B?​

A distância entre dois pontos A e B é dada por

$d_{AB}=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\\\\d_{AB}=\sqrt{(-2-3)^2+(2-1)^2}\\\\d_{AB}=\sqrt{(-5)^2+1^2}\\\\d_{AB}=\sqrt{25+1}\\\\\boxed{d_{AB}=\sqrt{26}}$

• Conclusão

Portanto, a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A e B é igual a  $\mathbf{y=-\dfrac{x}{5}+\dfrac{8}{5}}$ e a distância entre os pontos é igual a $\mathbf{\sqrt{26}}$.

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/25737018

Answer 2

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⠀⠀☞ A equação reduzida da reta é y = (-x + 8)/5 e a distância entre estes dois pontos é de √26 u.c. ✅

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⚡ " -Como é a forma de uma equação reduzida de reta?"  

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$\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf y = a \cdot x + b}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf (x, y) }}$ sendo as coordenadas dos pontos que pertencem à reta;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf a }}$ sendo o coeficiente angular da reta: a tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas (Δy / Δx);

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf b }}$ sendo o coeficiente linear da reta: o valor de y para quando a reta intercepta o eixo das ordenadas (x = 0).

⠀⠀

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\put(-5,-2.2){\line(5,3){10}}\put(-3,-1){\circle*{0.13}}\put(2,2){\circle*{0.13}}\put(2,-1){\circle*{0.13}}\put(0,0.8){\circle*{0.13}}\put(-0.5,1){\LARGE \sf b }\bezier{20}(2,2)(2,0.5)(2,-1)\bezier{35}(-3,-1)(-0.5,-1)(2,-1)\put(-3.7,-1){\LARGE \sf A }\put(1.5,2.1){\LARGE \sf B }\put(2.3,0.4){\Large \sf \Delta y }\put(-1,-1.6){\Large \sf \Delta x }\bezier(-2.1,-0.45)(-1.7,-0.5)(-1.7,-1)\put(-2.3,-0.9){ \alpha }\bezier(-0.5,0.5)(-0.1,0.5)(0,0)\put(-0.55,0.15){ \alpha }\put(1,-4){\dashbox{0.1}(4.5,1.5){\text{\Large \sf a = tan(\alpha) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} }}}\end{picture}$

⠀

$\Large\red{\boxed{\begin{array}{rcl}&\red{\underline{\footnotesize\sf Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly.}}&\\&\green{\footnotesize\sf *~Experimente~compartilhar\rightarrow copiar~e~acessar}&\\&\green{\footnotesize\sf o~link~copiado~pelo~seu~navegador~ou~Browser.}&\\\end{array}}}$

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⠀  

➡️⠀Desta forma temos que o coeficiente angular será:

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$\LARGE\blue{\sf a = \dfrac{1 - 2}{3 - (-2)}}$

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$\LARGE\blue{\sf a = \dfrac{-1}{5}}$

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➡️⠀Para encontrarmos agora o coeficiente linear basta substituirmos 'a' e as coordenadas de um dos pontos conhecidos (tomemos o ponto A) na equação reduzida da reta:

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$\LARGE\blue{\sf 2 = \dfrac{-1}{5} \cdot (-2) + b}$

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$\LARGE\blue{\sf 2 = \dfrac{2}{5} + b}$

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$\LARGE\blue{\sf b = 2 - \dfrac{2}{5}}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf b = \dfrac{10}{5} - \dfrac{2}{5}}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf b = \dfrac{8}{5}}$

⠀  

➡️⠀O que nos resulta na seguinte equação reduzida de reta:

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$\LARGE\blue{\sf y(x) = \dfrac{-1}{5} \cdot x + \dfrac{8}{5} }$  

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{y(x)}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{-x + 8}{5} }~~~}}$ ✅

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⚡ " -Como encontramos a distância entre dois pontos (para duas dimensões)?"

⠀  

➡️⠀A partir do teorema de Pitágoras (✏ Observe novamente o triângulo retângulo formado na figura do gráfico acima) podemos deduzir que:  

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf d_{AB} = \sqrt[2]{\sf (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf d_{AB} }}$ sendo a distância entre os pontos A e B;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf (x_A, y_A) }}$ sendo as coordenadas do ponto A;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf (x_B, y_B) }}$ sendo as coordenadas do ponto B;

⠀  

➡️⠀Desta forma temos:

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$\Large\blue{\sf d_{AB} = \sqrt[2]{(3 - (-2))^2 + (1 - 2)^2}}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf d_{AB} = \sqrt[2]{25 + 1}}$

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$\LARGE\blue{\sf d_{AB} = \sqrt[2]{26}}$  

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{d_{AB}}~\pink{=}~\blue{\sqrt[2]{26}}~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀☀️ Leia mais sobre:

⠀

✈ Equação reduzida da reta: https://brainly.com.br/tarefa/39076801

✈ Distância entre dois pontos: https://brainly.com.br/tarefa/38357197

✈ Distância entre dois pontos: https://brainly.com.br/tarefa/37997846

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⠀⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

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