Question

Qual é a equação geral do plano α que passa pelos pontos A(3, 3, 9), B(4, 1, 6) e C(2, -1, 3). Para obter o vetor ⃗ n = ⃗ u × ⃗ v normal ao plano α , considere ⃗ u = → A B e ⃗ v = → A C .

Answer 1

A equação geral do plano α é 9y - 6z + 27 = 0.

Equação geral do plano

Seja P(x, y, z) um ponto que pertence ao plano, temos que se ele passa pelo ponto A, o vetor PA deve ser perpendicular ao vetor normal N de forma que:

N·PA = 0

O plano contém os pontos A, B e C, então podemos formar os vetores u = AB e v = AC:

u = B - A = (4 - 3, 1 - 3, 6 - 9)

u = (1, -2, -3)

v = C - A = (2 - 3, -1 - 3, 3 - 9)

v = (-1, -4, -6)

O vetor normal ao plano será igual ao produto vetorial entre u e v:

$\overline{u}\times \overline{v} = \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-2&-3\\-1&-4&-6\end{array}\right|$

n = u×v = (-2)·(-6)·i + (-3)·(-1)·j + 1·(-4)·k - (-1)·(-2)·k - (-4)·(-3)·i - (-6)·1·j

n = 12·i + 3·j + -4·k - 2·k - 12·i + 6·j

n = 9j - 6k

n = (0, 9, -6)

A equação geral do plano utilizando o ponto A será:

n·PA = (0, 9, -6)·(x - 3, y - 3, z - 9) = 0

0·(x - 3) + 9·(y - 3) + (-6)·(z - 9) = 0

9y - 27 - 6z + 54 = 0

9y - 6z + 27 = 0

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