Question

Qual é a equação geral do plano determinado pelos pontos A(-1, 2, 0), B(2, -1, 1) e C(1, 1, -1)?<br /><br />
Opções:<br />
A( ) 2x + 1y - z + 6 = 0<br />
B( ) 4x + 5y + 3z - 6 = 0<br />
C( ) 3x + 3y - 2z - 6 = 0<br />
D( ) 4x + 2y + 3z - 6 = 0<br /><br />
É urgente.

Answer 1

Dado que a questão é de escolha múltipla e 3 pontos definem um único plano, podíamos substituir trivialmente as coordenadas dos 3 pontos e ver qual das hipótese corresponde à equação do plano.

De forma mais legítima, determinamos 2 vetores não colineares do plano, como por exemplo:
• $\overrightarrow{AB} = B - A = (2,-1,1) -(-1,2,0) = (3,-3,1);$
• $\overrightarrow{AC} = C - A = (1,1,-1)-(-1,2,0) = (2,-1,-1).$

Precisamos agora de encontrar um vetor normal a ambos os vetores acima. Uma forma bastante cómoda é uilizar o produto externo:
$\vec{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \left|\begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ \end{matrix}\right| = (3 + 1, 2 + 3, -3 + 6) = (4, 5, 3).$

Este vetor é, portanto, normal ao plano, pelo que a equação é do tipo:
$4x + 5y + 3z + d = 0, \quad d \in \mathbb{R}.$

Substituímos agora as coordenadas de um ponto do plano (por exemplo A) para determinar d:
$-4 + 10 + d = 0 \iff d = -6.$

Portanto, o plano tem equação:
$4x + 5y + 3z -6 = 0$ (opção B.)

Pode verificar que a resposta está certa substituindo as coordenadas de cada um dos pontos e confirmar que obtém uma igualdade verdadeira.