Question

Qual é a equação geral da reta determinada pelos pontos A(-2,-8) e B(-12,4) ?​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{6x+5y+52=0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão de equação da reta, utilizaremos matrizes.

Em geometria analítica, determinantes de matrizes podem ser utilizados como condição de alinhamento de três pontos. Logo, considerando dois pontos quaisquer $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ e um ponto genérico $(x,~y)$, diz-se que

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Temos que encontrar a equação geral da reta determinada pelos pontos $A~(-2,-8)$ e $B~(-12,~4)$.

Substitua as coordenadas na matriz

$\begin{vmatrix}-2&-8&1\\-12&4&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Existem diversas maneiras de calcular este determinante. Aqui, utilizaremos escalonamento.

O escalonamento consiste em escolhermos um elemento pivô pertencente à diagonal principal e zerar os elementos abaixo dele em sua coluna.

Após escolher, multiplicamos a linha por uma constante e somamos às linhas abaixo. De acordo com o Teorema de Jacobi, esta propriedade não altera o determinante.

Primeiro, escolhemos o elemento $a_{11}=-2$ como pivô

Multiplique a primeira linha por -6 e some à segunda linha

$\begin{vmatrix}-2&-8&1\\-12&4&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0~\rightarrow L_1\cdot(-6)+L_2$

Ficamos com

$\begin{vmatrix}-2&-8&1\\0&52&-5\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Agora, multiplique a primeira linha por $\dfrac{x}{2}$ e some à terceira linha

$\begin{vmatrix}-2&-8&1\\0&52&-5\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0\rightarrow L_1\cdot\dfrac{x}{2}+L_3$

Ficamos com

$\begin{vmatrix}-2&-8&1\\0&52&-5\\0&y-4x&1+\dfrac{x}{2}\\\end{vmatrix}=0$

Por fim, zerado os elementos abaixo do primeiro elemento pivô, escolha o elemento pivô $a_{22}=52$ e repita o processo

Multiplique a segunda linha por $-\dfrac{y-4x}{52}$ e some à terceira linha

$\begin{vmatrix}-2&-8&1\\0&52&-5\\0&y-4x&1+\dfrac{x}{2}\\\end{vmatrix}=0\rightarrow L_1\cdot\left(-\dfrac{y-4x}{52}\right)+L_3$

Ficamos com

$\begin{vmatrix}-2&-8&1\\0&52&-5\\0&0&1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{5(y-4x)}{52}\\\end{vmatrix}=0$

O determinante da matriz escalonada é igual ao produto dos elementos da diagonal principal

$-2\cdot52\cdot \left(1 +\dfrac{x}{2}+\dfrac{5(y-4x)}{52}\right)=0$

Aplique a propriedade distributiva da multiplicação

$-104 -52x-10(y-4x)=0\\\\\\ -104-52x-10y+40x=0$

Some e reorganize os termos

$-12x-10y-104=0$

Simplifique a equação multiplicando-a por $-\dfrac{1}{2}$

$6x+5y+52=0$

Esta é a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B.