Question

Qual é a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x2+2x no ponto de abscissa 1?

Answer 1

$F(x)+ x^2+2x$

ponto de abscissa = 1
logo x0 =1

agora calculando o y0
$f(1)=1^2+2*1\\\ f(1) =3 = y_0$

temos os pontos 
x0 = 1
y0 = 3

a equação da reta é dada por
$\boxed{y=m(x-x0)* y_0}$

x0 e y0 são pontos da curva que ja conhecemos
m é o coeficiente angular...que é dado pelo valor da derivada no ponto x0

derivando a equação
$f(x) = x^2+2x\\\\f'(x) = 2*x^{2-1} + 2*1\\\\ \boxed{f'(x) = 2x+2}$

calculando no ponto x0= 1
$f'(1) = 2*1 + 2\\\\f'(1) = 4$

e esse é o coeficiente angular (m)
agora montando a equação da reta
$y= 4(x-1)+3\\\\y=4x-4+3\\\\\boxed{T:y=4x-1}$

essa é a reta tangente

Answer 2

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a equação da reta tangente ao gráfico da referida função polinomial do segundo grau - função quadrática - pelo ponto dado é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 4x - 1\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                       $\Large\begin{cases} f(x) = x^{2} + 2x\\x = 1\end{cases}$

Para calcular a equação da reta tangente ao gráfico da referida função pelo ponto de abscissa "-2" devemos utilizar a equação da reta em sua forma "ponto/declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x- x_{T})\end{gathered}$

Sabendo que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$

Além disso, sabemos também que o coeficiente angular da reta é numericamente igual à derivada primeira da função no ponto de abscissa especificada, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$

Substituindo "II" e "III" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Substituindo os dados na equação "IV", temos:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - \left[1^{2} + 2\cdot1\right] = \left[2\cdot1\cdot1^{2 - 1} + 1\cdot2\cdot1^{1 - 1}\right]\cdot\left[x - 1\right]\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - \left[1 + 2\right] = \left[2 + 2\right]\cdot\left[x - 1\right]\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 3 = 4\cdot\left[x - 1\right]\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 3 = 4x - 4\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 4x - 4 + 3\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 4x - 1\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = 4x - 1\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$