Matemática, perguntado por elsonsantos, 1 ano atrás

Qual é a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x2+2x no ponto de abscissa 1?

Soluções para a tarefa

Respondido por fagnerdi

deriva a função:
f(x)=x²+2x
f'(x)=2x+2

Agora substitui o ponto dado (1) em x:
f'(x)=2x+2
f'(1)=2.1+2
f'(1)=2+2
f'(1)=4 Portanto esse será o valor do coeficiente angular m=4

Agora precisar saber o valor de y. Então substitui o valor de x dado (1) na função original:
f(x)=x²+2x
f(1)=1²+2.1
f(1)=1+2
f(1)=3

Então quando x=1 , y=3 . temos nosso par ordenado ( 1 , 3)

Agora é só usar aquela fórmula da reta :

y-y0=m(x-x0)
y-3=4(x-1)
y=4x-4+3
y=4x-1 Essa é a equação da reta tangente a função x²+2x nos pontos (1,3)

Respondido por solkarped

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a equação da reta tangente ao gráfico da referida função polinomial do segundo grau - função quadrática - pelo ponto dado é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 4x - 1\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} f(x) = x^{2} + 2x\\x = 1\end{cases}$

Para calcular a equação da reta tangente ao gráfico da referida função pelo ponto de abscissa "-2" devemos utilizar a equação da reta em sua forma "ponto/declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x- x_{T})\end{gathered}$}$

Sabendo que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$}$

Além disso, sabemos também que o coeficiente angular da reta é numericamente igual à derivada primeira da função no ponto de abscissa especificada, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$}$

Substituindo "II" e "III" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}$

Substituindo os dados na equação "IV", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - \left[1^{2} + 2\cdot1\right] = \left[2\cdot1\cdot1^{2 - 1} + 1\cdot2\cdot1^{1 - 1}\right]\cdot\left[x - 1\right]\end{gathered}$}$