Question

Qual é a equação da reta que contém os pontos A(1;2) e B(2;0) ?

Answer 1

Para encontrar a reta a partir desses dois pontos, tem-se várias formas de fazer. Eu farei pelo método das equações paramétricas.

• Uma equação paramétrica é dada pela seguinte relação:

$\orange \bullet \: \: (x,y) = A + v.t \: \: \orange \bullet$

Sendo A um ponto qualquer para a formação da reta, v o vetor diretor da reta e t um parâmetro qualquer pertencente aos reais.

→ Primeiro vamos calcular o vetor diretor da reta, para isso basta fazer a subtração dos dois pontos fornecidos pela questão:

$B-A= \vec{AB} \\\vec{AB} = (2,0) - (1,2)\\ \vec{AB} = (2 - 1,0 - 2) \\ \vec{AB} = (1, - 2)$

Esse é o vetor diretor da reta. Para a montagem escolherei o ponto A, mas tanto faz ser A ou B:

$(x,y) = (1,2) + (1, - 2).t \\ (x,y) = (1,2) + (1t, - 2t) \\ (x ,y) = (1 + t ,2 - 2t) \: \: \: \: \: \\ \begin{cases}x = 1 + t \\ y =2 - 2t\end{cases}$

Isolando o parâmetro t e igualando as duas:

$t = x - 1 \\ y = 2 - 2t \\ y = 2 - 2.(x - 1) \\ y = 2 - 2x +2 \\ \boxed{y = - 2x + 4}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

A equação geral da reta, que passa pelos pontos A (1, 2) e B (2, 0), é assim definida: 2x + y - 4 = 0.

Em sua forma reduzida, a equação da reta, que passa pelos pontos A (1, 2) e B (2, 0), é assim definida: y = -2x + 4.

Explicação passo a passo:

Dados dois pontos, nós podemos encontrar a equação geral da reta fazendo o alinhamento destes dois pontos com um ponto (x, y) genérico da reta.

Sejam os pontos A (1, 2), B (2, 0) e P (x, y), 03 pontos estão alinhados quando o determinante da matriz associada a esses pontos é igual a zero. Portanto, para nós determinarmos a equação da reta que passa pelos pontos P (x, y), A (1, 2) e B (2, 0), nós devemos calcular o determinante da seguinte Matriz, que chamaremos de Matriz A:

$A=\left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\end{array}\right]$

Vamos ao cálculo do determinante da Matriz A (det(A)):

$det(A)=\left|\begin{array}{ccc}x&y&1\\1&2&1\\2&0&1\end{array}\right|$

Iniciamos, através do cálculo da Diagonal Principal (DP):

$DP=[(x)\times(2)\times(1)]+[(y)\times(1)\times(2)]+[(1)\times(1)\times(0)]\\DP=[2x]+[2y]+[0]\\DP=2x+2y+0\\DP=2x+2y$

Prosseguimos, com o cálculo da Diagonal Secundária (DS):

$DS=[(2)\times(2)\times(1)]+[(1)\times(y)\times(1)]+[(x)\times(0)\times(1)]\\DS=[4]+[y]+[0]\\DS=4+y+0\\DS=4+y\\DS=y+4$

O determinante da Matriz A é calculado através da diferença entre a Diagonal Principal (DP) e a Diagonal Secundária (DS).

Vejamos:

$det(A)=DP-DS\\det(A)=(2x+2y)-(y+4)\\det(A)=2x+2y-y-4\\det(A)=2x+y-4$

Para que os 03 pontos estejam alinhados, o determinante da Matriz A deve ser igual a 0.

Logo:

$det(A)=2x+y-4\\det(A)=0\\2x+y-4=0$

A equação geral da reta, que passa pelos pontos A (1, 2) e B (2, 0), é assim definida: 2x + y - 4 = 0.

Caso queiramos a equação da reta, em sua forma reduzida, teremos:

$2x+y-4=0\\y=-2x+4$

Em sua forma reduzida, a equação da reta, que passa pelos pontos A (1, 2) e B (2, 0), é assim definida: y = -2x + 4.