Question

Qual é a equação da circunferência inscrita nesse losango?

Answer 1

Olá, boa tarde.

Os vértices de um losango são $A~(0,~0),~B~(-3,\,-5),~C~(0,\,-10)$e $D~(3,\,-5)$. Devemos determinar a equação da circunferência inscrita neste losango.

Para isso, devemos nos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre relações métricas no triângulo retângulo.

Primeiro, utilizamos uma ferramenta gráfica para determinarmos o losango cujos vértices são os pontos $A,~B,~C$ e $D$. Veja a primeira imagem em anexo.

Então, supomos uma circunferência inscrita neste losango, como na segunda imagem em anexo.

Observe que o centro desta circunferência é o ponto médio do segmento que une os pontos $A$ e $C$.

Sabendo que as coordenadas $(x_M,~y_M)$ do ponto médio do segmento que une os pontos de coordenadas $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ são calculadas pelas fórmulas $x_M=\dfrac{x_1+x_2}{2}$ e $y_M=\dfrac{y_1+y_2}{2}$, temos:

$x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}~~~y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}$

Substitua as coordenadas dos pontos $A$ e $C$

$x_M=\dfrac{0+0}{2}~~~y_M=\dfrac{0-10}{2}$

Some os valores e simplifique as frações

$x_M=0~~~y_M=-5$

Dessa forma, as coordenadas do centro desta circunferência é o ponto de coordenadas $(0,\,-5)$.

Agora, sabendo que a circunferência está inscrita neste losango, a distância entre os pontos de tangência desta circunferência ao seu centro deve ser igual ao raio.

As retas suporte dos lados deste losango são perpendiculares ao segmento que une os pontos de tangência ao centro da circunferência, de modo que podemos determinar o triângulo retângulo como visto na terceira imagem em anexo.

Assim, podemos utilizar as relações métricas no triângulo retângulo para calcular o raio da circunferência.

Observe que o raio será a altura deste triângulo retângulo. Podemos utilizar a propriedade $a\cdot h=b\cdot c$, em que $a$ é a medida da hipotenusa e $b$ e $c$ são as medidas dos catetos.

As medidas dos catetos $b$ e $c$ podem ser calculados pela distância entre os pontos $B$ e $C$ ao centro da circunferência, respectivamente.

A distância $d$ entre dois pontos de coordenadas $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ pode ser calculada pela fórmula: $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.

Substituindo as coordenadas dos pontos $B,~C$ e o centro da circunferência, temos:

$b = \sqrt{(-3-0)^2+(-5-(-5))^2}~~~ c = \sqrt{(0-0)^2+(-10-(-5))^2}$

Some os valores entre parênteses e calcule as potências

$b = \sqrt{(-3)^2+0^2}~~~ c = \sqrt{0^2+(-5)^2}\\\\\\ \Rightarrow~b = \sqrt{9}~~~ c = \sqrt{25}$

Calcule os radicais

$b=3~~~c=5$

A medida da hipotenusa $a$ pode ser calculada de acordo com o Teorema de Pitágoras: $a^2=b^2+c^2$, de modo que teremos:

$a^2=3^2+5^2$

Calcule as potências e some os valores

$a^2=9+25\\\\\\ a^2=34$

Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade, assumindo a solução positiva

$a=\sqrt{34}$

Substituindo estes dados na relação métrica e fazendo $h=r$, temos:

$\sqrt{34}\cdot r=3\cdot 5$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $\sqrt{34}$ e multiplique os valores

$r=\dfrac{15}{\sqrt{34}}$

Por fim, lembre-se que a equação reduzida de uma circunferência cujo centro é o ponto de coordenadas $(x_0,~y_0)$ e raio mede $r$ é dada por: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$. Substitua estes resultados na fórmula.

$(x-0)^2+(y-(-5))^2=\left(\dfrac{15}{\sqrt{34}}\right)^2$

Some os valores entre parênteses e calcule a potência à direita da igualdade

$x^2+(y+5)^2=\dfrac{225}{34}~~\checkmark$

Esta é a equação da circunferência que buscávamos.