Question

qual é a derivada pela definição de f(x)=x^2/3?

Answer 1

Oi Roger 

f(x) = x²/3 

f'(x) = f'(x²)/3

f'(x) = 1/3 lim h-->0 (f(x+h) - f(x))/h 

f'(x) = 1/3 lim h-->0 ( x²+ 2hx + h² - x² )/h = 

lim h-->0 1/3 ( 2hx + h²)/h = lim h-->0 (2x + h) = 2x/3

Answer 2

Ola amigo, boa tarde. Seja a função x^2/3 Pela definiçao da derivada, devemos calcular pelo limite certo? F(x) = x^2/3 Ou F(x) = raiz cubica(x ^2) Pra calcularmos a derivada de uma funçao pela definicao, usamos essa formula de limite. Limite [f(x + h) - f(x)]/h h -> 0 Limite [ raiz cubica(x + h)^2 - raiz cubica(x^2)]/h h - > 0 Usando os conhecimentos dos produtos notaveis para racionalizar essa expressao. a^3 +- b^3 = (a - b)(a^2 +- ab + b^2) Fazendo "raiz3(x+h)^2 - raiz3(x+h)" como (a -b), Falta multiplicarmos pela expressao que esta faltando. Multiplica encima e embaixo por [raiz3(x+h)^4 + raiz3((x+h)^2*x^2) + raiz3(x^4)] Apos multiplicarmos encima e embaixo, a expressao decima do limite vai ficar no formato a^3 - b^3 Lim [(x+h)^2 - x^2]/h*(raiz3(x+h)^4 + raiz3((x+h)^2*x^2) + raiz3(x^4) h -> 0 Fatorando a expressao (x+h)^2 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 Lim (x^2 + 2xh + h^2 -x^2)/h*(raiz3(x+h)^4 + raiz3((x+h)^2*x^2)+ raiz3(x^4)) Cortando ×^2 - x^2 e jogando em evidencia os termos que tem "h" no numerador ficamos: Lim h(2x + h)/h*(raiz3(x+h)^4 + raiz3((x+h)^2*x^2)+ raiz3(x^4)) h -> 0 Agora podemos corta "h" do numerador com o denomidor e podemos substituir os termos "h" por zero q estao dentro das raizes. Lim 2x/(raiz3(x+0)^4 +raiz3((x+0)^2*x^2)+ raiz3(x^4)) h -> 0 Lim 2x/[raiz3(x^4) + raiz3(x^4) + raiz3(x^4)] h - > 0 Podemos juntar as tres raizes pois sao iguais. Lim 2x/[ 3*raiz3(x^4) ] h - > 0 Podemos fatorar ''x'' dentro da raiz. Lim 2x/ 3*raiz3(x^3*x^1) h - > 0 Lim 2x/ 3x*raiz3(x) h -> 0 Agora so cortamos x do numerador com o denominador Lim 2/3*raiz3(x) h -> 0 Como nenhum fator do limite depende de "h" e que o limite de uma constante é a propria constante. Entao pelas propriedades de limite concluimos que sera: 2/3*raiz3(x)