qual e a derivada de Y em relação a X, conforme o caso das funções abaixo:
a) y = ln(cos(∛)) b) y = x⁵ - e⁻³lnx
Niiya:
Na b), o ln(x) está no expoente?
Soluções para a tarefa
Respondido por
2
Utilizamos a regra da cadeia para achar a derivada de funções compostas
Regra da cadeia:

"Derivamos a função de fora, repetimos a(s) de dentro e multiplicamos pela derivada da função de dentro" -> Informalmente falando
__________________________
a)
![y = ln(cos(\sqrt[3]{x})) y = ln(cos(\sqrt[3]{x}))](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+ln%28cos%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%29%29)
Derivando pela regra da cadeia, temos:
![y'=\dfrac{1}{cos(\sqrt[3]{x})}\cdot\dfrac{d}{dx}[cos(\sqrt[3]{x})] y'=\dfrac{1}{cos(\sqrt[3]{x})}\cdot\dfrac{d}{dx}[cos(\sqrt[3]{x})]](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bcos%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%29%7D%5Ccdot%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Bcos%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%29%5D)
Derivamos cos(∛x) pela regra da cadeia também:
![y'=\dfrac{1}{cos(\sqrt[3]{x})}\cdot(-sen(\sqrt[3]{x}))\cdot\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{x}\\\\\\y'=-\dfrac{sen(\sqrt[3]{x})}{cos(\sqrt[3]{x})}\cdot\dfrac{d}{dx}x^{(1/3)}\\\\\\y'=-tg(\sqrt[3]{x})\cdot\dfrac{1}{3}\cdot x^{-(2/3)}\\\\\\y'=-tg(\sqrt[3]{x})\cdot\dfrac{1}{3\cdot x^{2/3}}\\\\\\\boxed{\boxed{y'=-\dfrac{tg(\sqrt[3]{x})}{3\sqrt[3]{x^{2}}}}} y'=\dfrac{1}{cos(\sqrt[3]{x})}\cdot(-sen(\sqrt[3]{x}))\cdot\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{x}\\\\\\y'=-\dfrac{sen(\sqrt[3]{x})}{cos(\sqrt[3]{x})}\cdot\dfrac{d}{dx}x^{(1/3)}\\\\\\y'=-tg(\sqrt[3]{x})\cdot\dfrac{1}{3}\cdot x^{-(2/3)}\\\\\\y'=-tg(\sqrt[3]{x})\cdot\dfrac{1}{3\cdot x^{2/3}}\\\\\\\boxed{\boxed{y'=-\dfrac{tg(\sqrt[3]{x})}{3\sqrt[3]{x^{2}}}}}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bcos%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%29%7D%5Ccdot%28-sen%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%29%29%5Ccdot%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5Cy%27%3D-%5Cdfrac%7Bsen%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%29%7D%7Bcos%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%29%7D%5Ccdot%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Dx%5E%7B%281%2F3%29%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5Cy%27%3D-tg%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%29%5Ccdot%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot+x%5E%7B-%282%2F3%29%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5Cy%27%3D-tg%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%29%5Ccdot%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%5Ccdot+x%5E%7B2%2F3%7D%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5Cboxed%7B%5Cboxed%7By%27%3D-%5Cdfrac%7Btg%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%29%7D%7B3%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7D%7D%7D)
b)

Primeiro, vamos utilizar a regra da diferença:
"A derivada da diferença é a diferença das derivadas"

Agora, utilizarei a regra da cadeia (veja que a função e^(-3lnx) é uma composição da função e^x com a função -3ln(x).)

Veja que podemos simplificar e^(-3ln(x)):

Na verdade, podíamos ter simplificado a função antes mesmo de derivar, assim não precisaríamos usar a regra da cadeia. Veja:

Regra da cadeia:
"Derivamos a função de fora, repetimos a(s) de dentro e multiplicamos pela derivada da função de dentro" -> Informalmente falando
__________________________
a)
Derivando pela regra da cadeia, temos:
Derivamos cos(∛x) pela regra da cadeia também:
b)
Primeiro, vamos utilizar a regra da diferença:
"A derivada da diferença é a diferença das derivadas"
Agora, utilizarei a regra da cadeia (veja que a função e^(-3lnx) é uma composição da função e^x com a função -3ln(x).)
Veja que podemos simplificar e^(-3ln(x)):
Na verdade, podíamos ter simplificado a função antes mesmo de derivar, assim não precisaríamos usar a regra da cadeia. Veja:
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