Question

Qual é a derivada da imagem anexo ?
Alternativas
a) 3x²+1
b) X²+2x
c) X³-1
d) X+1
e) 2x+1

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar a propriedade da regra do quociente.

Seja uma função racional $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, sabemos que a derivada da função é dada por:

$f'(x)=\dfrac{u'(x)\cdot v(x) - v'(x)\cdot u(x)}{v^2(x)}$

Então, buscamos a derivada da função $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$

Aplicando a propriedade descrita acima, temos:

$f'(x)=\dfrac{(x)'\cdot (x^2+1) - (x^2+1)'\cdot x}{(x^2+1)^2}$

Lembre-se das seguintes propriedades:

• A derivada de uma soma é igual a soma das derivadas, logo $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplicando as propriedades, temos

$f'(x)=\dfrac{1\cdot (x^2+1) - 2x\cdot x}{(x^2+1)^2}$

Multiplique os valores

$f'(x)=\dfrac{x^2+1 - 2x^2}{(x^2+1)^2}$

Some os termos semelhantes

$f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

Esta é a derivada da função.