Question

Qual é a base em que o logaritmo de 3 é igual a -2?

Answer 1

Vejamos:

log 3 = -2
     x

Primeiramente, verifiquemos as condições de existência:
A base do logaritmo deve ser maior do que 0 e distinta de 1, logo:
x > 0
x ≠ 1

log 3  = -2
     x

*Aplicando a definição:

3 = x^(-2)
3 = (1/x) ^ (2)

3 =    1
       -------
          x²

3x² = 1
x² = 1/3
x = ± 1/√3
x = ± (1.√3)/(√3 . √3)
x =± √3/3

Voltemos às condições existenciais:
A base não pode ser menor do que zero, portanto descartaremos  a raiz negativa:  -√3/3. A base deve ser diferente de um=> +√3/3 é diferente de um.

Portanto √3/3 é a base desse logaritmo.

Prova real:

log 3 = -2
    x

log 3   =  -2
    √3/3
*Aplicando a definição:

3 = (√3/3) ^ (-2)
3 = (3/√3) ^ (2)
3 = 3²/(√3.√3)
3 = 9/3
3 = 3
(VERDADEIRO)