Question

Qual é a assintota vertical de y= x^2+4/x^2-1.

Na verdade eu sei que quando x=1 ou x=-1 , resultará no infinito. Mas não consigo demonstrar isso.

Quando faço a assintota vertical de x/x+4, eu sei que isso resultará +infinito quando x=-4 pelo lado direito, pois
x>-4
x+4> 0
Logo, esse número será positivo.

Mas para o primeiro caso, eu não consigo ter o mesmo raciocínio.

Desde já, mt mt obrigada ♡

Answer 1

Oi FauaneCirq.

Temos a função:

$Y = \frac{x^2+4}{x^2-1}$

O domínio da função, são os conjuntos dos numeros reias mas com uma condição:


$\\ x^2-1 \neq 0 \\ \\ x^2 \neq 1 \\ \\ x \neq 1 \\ \\ ou \\ \\ x \neq -1$


$D = (X E R/ X \neq 1,e \neq -1)$

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Vamos analizas por limite, pra onde esse valor dende ao grafico:


Quando lim tende a -1:

$\\ \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2+4}{x^2-1} \\ \\ \lim_{x \to -1+} \frac{1+4}{0^-} = - \infty$

Avaliando o limite pela esquerda teremos:


$\\ \lim_{x\to -1^-} \frac{x^2+4}{x^2-1} \\ \\ \lim_{x \to -1^-} \frac{1+4}{0^+} = +\infty$

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Agora iremos avaliar x = 1

$\\ \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+4}{x^2-1} \\ \\ \lim_{x \to 1^-} \frac{1+4}{0,99999...-1} = - \infty$

Avaliando x pela direita:


$\\ \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+4}{x^2-1} \\ \\ \lim_{x \to 1^+} \frac{1+4}{1,000001......-1} = + \infty$

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Conclusão:

X = -1 pela direita  → - infinito

x = -1 pela esquerda → + infinito

x = 1 pela esquerda → -infinito

x = 1 pela direita + infinito

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Para plotar o grafico, vamos determinar os pontos de intersecção; e calcular o limite ao infinito.

$\\ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+4}{x^2-1} \\ \\ \lim_{x +\to \infty} \frac{x^2}{x^2} = 1$

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$\\ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+4}{x^2-1} \\ \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x^2} = 1$

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Igualando a função a zero:


$\\ \frac{x^2+4}{x^2-1} = 0 \\ \\ x^2+4 = 0 \\ \\ x^2 = -4$

A função não tem raiz real:

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