Question

qual é a área do triângulo ABC determinado pelos vértices A(1,-4) , B(-5,-2) e C(4,2)

Answer 1

Após os cálculos realizados podemos firmar que área do triângulo é:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = 21\: u.a } }$.

A área da superfície limitada pelo triângulo ABC, em que $\boldsymbol{ \displaystyle \sf A(x_A, y_A) }$), $\boldsymbol{ \displaystyle \sf B(x_B, y_B) }$ e $\boldsymbol{ \displaystyle \sf C(x_C, y_C) }$, é dada por:  ( Vide a figura em anexo ).

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot \mid D \mid }$

Em que:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ D = \begin{array}{ |r r r |} \sf x_A & \sf y_A & \sf 1 \\ \sf x_B & \sf y_B & \sf 1 \\ \sf x_C & \sf y_C & \sf 1\end{array} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf A(1,-4 )\\\sf B(-5,-2) \\\sf C(4,2)\\\sf A_{\triangle} =\:? \end{cases} } }$

Aplicando o determinante.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ D = \begin{array}{ |r r r |} \sf 1 & \sf -4 & \sf 1 \\ \sf -5 & \sf -2 & \sf 1 \\ \sf 4 & \sf 2 & \sf 1\end{array} } }$

E usando método Sarrus, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ D = \begin{array}{ |r r r | r r |} \sf 1 & \sf -4 & \sf 1 & \sf 1 & \sf -4 \\ \sf -5 & \sf -2 & \sf 1 & \sf -5 &\sf -2 \\ \sf 4 & \sf 2 & \sf 1 & \sf 4 &\sf 2\end{array} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ D = (-2 -16 -10) - (-8 +2 +20) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ D = (-28) - (+14) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ D =-28-14}$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf D =-42 }$

Agora devemos determinar a área do triângulo.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot \mid D \mid } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot \mid -42 \mid } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 42 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \dfrac{42}{2} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf A_{\triangle} = 21\: u.a }$

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