Question

Qual é a área do triângulo a seguir?

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado concluímos que a área do triângulos é de $\large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = 12\: \sqrt{5} \: cm^2 } }$.

Teorema de Heron para determinar a área de qualquer triângulo.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \sqrt{p \cdot ( p -a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)} } }$

Onde:

A ⇒ Área do triângulo;

p ⇒ semi-perímetro (metade da soma dos lados do triângulo);

a, b e c ⇒ medidas dos lados do triângulo.

O semi-perímetro é calculado por:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ p = \dfrac{(a + b + c )}{2} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

Calculando o semiperímetro:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ p = \dfrac{(a + b + c )}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ p = \dfrac{(14 + 9 + 7 )}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ p = \dfrac{ 30 }{2} = 15 } }$

Calculando a área do triângulo:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \sqrt{p \cdot ( p -a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \sqrt{15 \cdot ( 15 -14) \cdot (15-9) \cdot (15-7)} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \sqrt{15 \cdot1 \cdot 6 \cdot 8} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \sqrt{720} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2 }\cdot \sqrt{5} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} =2^2 \cdot 3\cdot \sqrt{5} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = 4\cdot 3\cdot \sqrt{5} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf A_{\triangle} = 12\: \sqrt{5}\: cm^2 }$

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Answer 2

Resposta:

Lei dos cossenos   a²=b²+c²-2*b*c * cos(α)   ...α ângulo entre b e c

α: ângulo oposto ao lado =7

7²=9²+14²-2*9*14 * cos(α)

cos(α)=(14²+9²-7²)/(2*9*14 ) =228/252=114/126=57/63

sen²(α)+cos²(α)=1    # relação fundamental da trigonometria

sen²(α) =1 -cos²(α)

sen²(α) =1 -(57/63)² =(63²-57²)/63²=720/3969=80 /441

sen(α)=√(80/441)=4√5 /21

Área de qualquer triângulo:

A=(1/2)* L1 *L2 * sen(α)      ...α é o ângulo entre L1 e L2

A=(1/2) * 9 * 14 * 4√5 /21

A=63* 4√5 /21

A=12√5 cm²