Question

Qual é a área de uma circunferência inscrita em um triângulo equilátero, sabendo-se que esse triângulo está inscrito em uma circunferência de comprimento igual a 10(pi)cm?
a) 75(pi)/4
b) 25(pi)/4
c)5(pi)/2
d) 25(pi)/16
e)5(pi)/4

Answer 1

Olá,

Para fazer essa questão faremos uma abordagem "de fora para dentro". A circunferência mais externa possui comprimento C = 10π cm. Se C = 2πR, temos que o raio R é:

10π = 2πR
R = 5 cm

Portanto, o raio da circunferência maior é 5cm. A figura abaixo ilustra algumas relações do triângulo equilátero quando inscrito em uma circunferência (à esquerda) e quando há uma circunferência inscrita no triângulo (à direita). Há uma fórmula que relaciona a altura do triângulo com o raio da circunferência maior, que é dado pelo baricentro do triângulo:
A distância do vértice ao baricentro em um triangulo equilátero é (2/3) da altura do mesmo, como o baricentro é o centro da circunferência maior, temos que o raio será:
R = (2/3)*h

Portanto, h = R*3/2 ==> h = 7.5 cm.

A relação da altura do triângulo equilátero com uma circunferência inscrita no mesmo é dado novamente pela altura. Partindo do baricentro em direção à base do triângulo, teremos (1/3)*h, já que antes fora percorrido (2/3)*h. Podemos dizer, portanto, que o raio da circunferência inscrita será a distância do baricentro á base, logo:

(1/3)*h = r
(7.5/3) = r
r = 2.5 cm
r = 5/2 cm

Como temos a área do circunferência A = π*r², logo:
A = π*(5/2)²
A = (25/4)*π 

Portanto a alternativa correta é a letra B. O raciocínio é um pouco abstrato para ser feito escrevendo, mas qualquer dúvida deixa o comentário. Abraço e até mais