Question

Qual é a área da circunferência inscrita num triângulo ABC cuja a área desse triângulo vale
$12 \sqrt{5m {}^{2} }$
e cujas medidas dos lados, em metros, são 7, 8 e 9:

Answer 1

Olá :)

Para relacionar a área S de um triângulo ABC e o raio r da circunferência inscrita, vamos olhar a figura abaixo.

Perceba: o centro da circunferêcia ao ser ligado com os vértices do triângulo forma outros triângulos. Para calcular a área total do triangulo maior, basta somar a área desses 3 triângulos menores.

Chamando cada lado do triangulo maior de a, b, c, sendo a área do triângulo calculada por base*altura/2 (perceba que a altura do triangulo menor é exatamente o raio do circulo), fazemos então a soma das áreas:

Sendo S a área do triângulo maior:

S = ar/2 + br/2 + cr/2

S = (a + b + c/2) * r

Sendo os lados 7, 8 e 9 e a área total 12√5:

S = (7+8+9/2)*r

12√5 = (7+8+9/2)*r

r = √5

Com o raio, podemos calcular a área da circunferência:

A = π (√5)²

A = π5 cm²