Question

Qual é a altura de um tetraedro regular de aresta igual a raiz quadrada de 24 cm?

Answer 1

O tetraedro é uma pirâmide cujas arestas todas possuem a mesma medida, ou seja, suas faces são triângulos equiláteros. Para encontrar a altura, usaremos  o Teorema de Pitágoras. Veja que a altura da pirâmide, o segmento complementar a apótema do triângulo da base e a aresta da pirâmide no se desenho formam um triangulo equilátero.

A apótema de um triângulo mede um terço de sua altura, então o segmento complementar a ela mede 2/3 da altura. Há uma formula para calcular a altura do triângulo equilátero, encontraremos esse segmento multiplicando-a por 2/3.

$\dfrac23 \cdot H_t = \dfrac23 \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Sabendo o valor da aresta, temos que o segmento mencionado será:

$S = \dfrac{\sqrt{24} \cdot \sqrt3}{2} = \dfrac{\sqrt{72}}{2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

Assim o teorema de Pitágoras fica:

$(\sqrt{24})^2 = h^2 + (\sqrt{18})^2\\\\24 - 18 = h^2\\\\h^2= 6\\\\h = \sqrt6$

A altura é √6.

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