Question

Qual deve ser o valor numérico de n para que a equação (n + 2)! = 20 . n! 

Answer 1

(n + 2)! = 20 * n!

__(n_+_2)!_ = 20
.......n!

__(n_+_2)(n_+_1)_.n!_ = 20
..............n!

(n + 2).(n + 1) = 20
n² + n + 2n + 2 = 20
n² + 3n + 2 - 20 = 0
n² + 3n - 18 = 0

/\ = 3² - 4.1.(-18)
/\ = 9 + 72
/\ = 81

n = [-3 +/-V81]/2.1
n = [-3 +/-9]/2

n' = -3_+_9 = _6_ = 3
...........2.........2.

n'' = -3_-_9 = _-12_ = -6
...........2..........2.

Answer 2

$(n + 2)! =20.n! \\ \\ \frac{(n+2)!}{n!} = 20 \\ \\ \frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} = 20 \\ \\ (n+2)(n+1)=20 \\ \\ n^{2}+n+2n+2=20 \\ \\ n^{2}+ 3n + 2 - 20 \\ \\ n^{2}+3n-18=0 \\ \\ D = 3^{2}-4(1)(-18) = 9 + 72 = 81 \\ \\ \sqrt{D} = \sqrt{81}= 9 \\ \\ n' = \frac{-3+9}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ \\ n'' = \frac{-3-9}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Resposta: n = 3  (n = -6 não serve porque fatorial é positivo)

Espero ter ajudado.