Qual deve ser o valor de m para que os vetores u=(m,1,m+1), v=(0,1,m) e w=(0,m,2m) sejam linearmente dependetes (LD)?
Soluções para a tarefa
Para encontrar "m", basta montar um determinante com as coordenadas dos vetores e igualar este a zero (propriedade da dependência linear).
D = | m (m + 1) 1 |
| 0 1 m |
| 0 m 2m |
Resolvendo pela regra de Sarrus :
D = | m (m + 1) 1 | m (m +1)
| 0 1 m | 0 1
| 0 m 2m | 0 m
D = [Esquerda] - [Direita]
D =[ 1.1.0 + m.m.m + (m +1).0.2m ] - [ m.1.2m + (m+1).m.0 + 1.0.m]
D = [ 0+ m³ +0 ] - [2m + 0 +0]
D = m³ - 2m
Igualando a zero :
m³ - 2m = 0
m(m² - 2) = 0
m = 0
ou m² - 2 = 0
m = ± √2
Substituíndo no determinante original (lembrando que é necessário que o resultado seja zero) :
m = 0
D = | 0 ( 0+ 1) 1 |
| 0 1 0 |
| 0 0 2.0 |
D = | 0 1 1 | 0 1
| 0 1 0 | 0 1
| 0 0 0 | 0 1
D = [ 1.0 + 1.0 + 1.0] - [ 1.0 + 0.0 + 1.0]
D = 0 - 0 = 0
Por definição D = 0, logo :
0 = 0 (Verdadeiro)
Como m só pode assumir um valor ( você pode testar com ±√2 e verá que D ≠ 0, contrariando a definição de dependência linear) m só pode ser zero.